《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（讲稿D）7.4 区间估计

概率纶与款理统外 第四节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题

第四节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题

一、区间估计的基本概念 概率纶与款理统外 1.置信区间的定义 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参 数0，对于给定值a(0<<1),若由样本X1,X2,., X确定的两个统计量 日=(X1,X2,.,Xn)和阳=0(X1,X2,.,Xn)满足 P{Q(X1,X2,.,Xn)<0<0(X1,X2,.,Xm)}=1-a, 则称随机区间(0,0)是θ的置信水平为1-α的置信区 间，0和分别称为置信水平为1-α的双侧置信区间 的置信下限和置信上限，1-为置信水平

一、区间估计的基本概念 1. 置信区间的定义 { ( , , , ) ( , , , )} 1 , ( , , , ) ( , , , ) , (0 1), , , , ( ; ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2               = − = =   n n n n n P X X X X X X X X X X X X X X X X F x      和 满 足 确定的两个统计量 数 对于给定值 若由样本 设总体 的分布函数 含有一个未知参 ,1 . , 1 ( , ) 1 的置信下限和置信上限 为置信水平 间 和 分别称为置信水平为 的双侧置信区间 则称随机区间 是 的置信水平为 的置信区         − − −

概率伦与款理统外 关于定义的说明 被估计的参数虽然未知，但它是一个常数， 没有随机性，而区间（θ，）是随机的. 因此定义中下表达式 P{0(X1,X2,.,Xn)<0<0(X1,X2,.,Xn}=1-a 的本质是： 随机区间(0,0)以1-o的概率包含着参数的真值， 而不能说参数以1-a的概率落入随机区间（但，0）

关于定义的说明 , ( , ) . , , 没有随机性 而区间 是随机的 被估计的参数 虽然未知 但它是一个常数    : { ( , , , ) ( , , , )} 1 1 2 1 2 的本质是 因此定义中下表达式 P  X X  Xn   X X  Xn = − 1 ( , ). ( , ) 1 ,         而不能说参数 以 的概率落入随机区间 随机区间 以 的概率包含着参数 的真值 − −

2.求置信区间的一般步骤（共3步） 概率纶与款理统外 ()寻求一个样本X1,X2,Xn的函数： Z=Z(X1,X2,.,Xm0) 其中仅包含待估参数0，并且Z的分布已知 且不依赖于任何未知参数（包括0）. (2)对于给定的置信水平1-心，定出两个常数a,b, 使P{a<Z(X1,X2,.,Xn;0)<b}=1-. (3)从a<Z(X,X2,.,XmO)<b得到等价的 不等式0<0<0，其中 0=0(X1,X2,.,Xn),日=(X,X2.,Xn) ④

2. 求置信区间的一般步骤(共3步) ( ). , ( , , , ; ) (1) , , , : 1 2 1 2    且不依赖于任何未知参数 包 括 其中仅包含待估参数 并 且 的分布已知 寻求一个样本 的函数 Z Z Z X X X X X X n n   = { ( , , , ; ) } 1 . (2) 1 , , , 1 2      = − − P a Z X X X b a b 使  n 对于给定的置信水平 定出两个常数 ( , , , ), ( , , , ) , (3) ( , , , ; ) 1 2 1 2 1 2 n n n X X X X X X a Z X X X b            = =     不等式 其中 从 得到等价的

概率纶与款理统外 二、典型例题 例1设X1,X2,Xn是来自正态总体N(4,o2) 的样本，其中o2为已知，u为未知，求的置信水平 为1-au的置信区间. 解因为又是μ的无偏估计， 且0= X-'-N0,1 oI/n Y-严N(O,1)是不依赖于任何未知参数的， oln

解 1 . , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 为 的置信区间 的样本 其中 为已知 为未知 求 的置信水平 设 是来自正态总体       − X X  Xn N 因为 X 是  的无偏估计, ~ (0,1), / N n X U  −  且 = ~ (0,1) , / N 是不依赖于任何未知参数的 n X  −  例1 二、典型例题

概率纶与款理统外 由标准正态分布的上分位点的定义知 /2 -☑ax/2 p&<小1-a 即P-1-

1 , / / 2     = −        − z n X P 1 , / 2 / 2       = −       −   + z n z X n 即 P X 由标准正态分布的上 分位点的定义知

概率纶与款理统外 于是得u的一个置信水平为1-a的置信区间 -n 这样的置信区间常写成 ±n） 其置信区间的长度为2×可 n a12:

, . 1 / 2 / 2       − + −       z n z X n X 于是得 的一个置信水平为 的置信区间 这样的置信区间常写成 . / 2          z n X 其置信区间的长度为 2 .  / 2  z n 

概率纶与款理统外 注意：置信水平为1-的置信区间是不唯一的 如果在例中取n=16,o=1,0=0.05 查表可得7a12=0.025=1.96, 得个置信水平为95的受信区间±6×16 由一个样本值算得样本均值的观察值x=5.20, 则置信区间为(5.20±0.49)，即(4.71,5.69)

如果在例1中取 n =16,  =1,  = 0.05, 1.96, 查表可得 z / 2 = z0.025 = 1.96 . 16 1 0.95       得一个置信水平为 的置信区间 X   由一个样本值算得样本均值的观察值 x = 5.20, 则置信区间为 (5.20  0.49), 即 (4.71, 5.69). 注 意: 置信水平为1 −的置信区间是不唯一的

概率纶与款理统外 在例中如果给定a=0.05, 则又有n-m<<a-s 即PX-9nm<u<X+9=0,95 也是4的置信水平 为0.95的置信区间. 其置信区间的长度为9（亿4+z1)

在例1中如果给定  = 0.05, 0.95, / 0.0 4 0.0 1 =        − −  z n X P z   则又有 { } 0.95, − 0.0 1   + z0.0 4 = n z X n P X    即 0.95 . , 0.0 1 0.0 4 为 的置信区间 故 也是 的置信水平         − + z n z X n X 其置信区间的长度为 ( ) . 0.04 0.01 z z n + 

概華论与款理统外 比较两个置信区间的长度 6-2x9nus=32× n L3=C(a4+znan)=4.08× n 显然L,<L2·置信区间短表示估计的精度高. 说明：对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标 轴对称的情况，易证取和b关于原点对称时，能使 置信区间长度最小

比较两个置信区间的长度 ( ) 4.08 , 2 0.0 4 0.0 1 n z z n L   = + =  2 3.92 , 1 0.025 n z n L   =  =  . 显然 L1  L2 置信区间短表示估计的精度高. 说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标 轴对称的情况, 易证取a和b关于原点对称时,能使 置信区间长度最小