《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（讲稿D）8.2 正态总体均值的假设检验

概華伦与款程硫外 第二节正态总体均值的假设检验 一、单个总体均值W的检验 二、两个总体均值差的检验

第二节 正态总体均值的假设检验 一、单个总体均值 的检验 二、两个总体均值差的检验 

概车纶与散理统针「 一、单个总体N(4,o2)均值μ的检验 1.σ2为已知，关于u的检验(Z检验) ()假设检验H:u=4,H:μ≠4氵 (2)假设检验H:4≤4，H1:μ>； (3)假设检验H:4≥4，H1:4<, 讨论中都是利用H。为真时服从N(0,)分布 的统计量Z=X一凸来确定拒绝域的，这种 g/√n 检验法称为Z检验法

一、单个总体 N(, 2 ) 均值 的检验 1. , ( )  2 为已知 关 于的检验 Z 检 验 (3) : , : . (2) : , : ; (1) : , : ; 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0                 =  H H H H H H 假设检验 假设检验 假设检验  . , / (0,1) 0 0 检验法称为 检验法 的统计量 来确定拒绝域的 这种 讨论中都是利用 为真时服从 分布 Z n X Z H N  −  =

概華论与款程统外 例1某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm,标准差是0.15cm,今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量，其结果如下： 10.410.610.110.410.510.310.310.2 10.910.610.810.510.710.210.7 假定切割的长度服从正态分布，且标准差没有变 化，试问该机器工作是否正常α=0.05) 解因为X~N(,o2),σ=0.15， 要检验假设 Ho:4=10.5,H1:u≠10.5

例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 化, 试问该机器工作是否正常? ( = 0.05) 解 ~ ( , ), 0.15, 2 因为 X N    = : 10.5, : 10.5, H0  = H1   要检验假设

概车纶与款理统外「 Ho:u=4=10.5,H1:u≠10.5， 检验问题的拒绝域为 n=15,x=10.48,a=0.05, 20.025=1.96 10.48-10.5 0.15/15 =0.516<1.96 故接受H,认为该机工作正常

检验问题的拒绝域为 1.96, z0.025 = , . 故接受 H0 认为该机工作正常 n = 15, x = 10.48,  = 0.05, 0 2 x z n    −  0 10.48 10.5 0.516 1.96 0.15 15 x n   − − = =  : 10.5, : 10.5, H0  = 0 = H1  

概率伦与款醒统外「 2.o2为未知，关于u的检验(t检验) 设总体X~N(4,σ)，其中山，o2未知，显著性水平为a. 求检验问题H:4=h,H1:4≠h的拒绝域 设X,X2,Xn为来自总体X的样本 因为σ2未知，不能利用 X一来确定拒绝域。 oln 因为S2是σ2的无偏估计，故用S来取代σ， 即采用1=X_么来作为检验统计量。 S/√n

2. , ( )  2为未知 关 于 的检验 t 检 验 ~ ( , ), , , . 2 2 设总体 X N   其中  未知 显著性水平为 : , : . 求检验问题H0  = 0 H1   0的拒绝域 , , , , 设 X1 X2  Xn 为来自总体X 的样本 , 因为 2 未知 . / 不能利用 0 来确定拒绝域 n X  −  , 因为 S 2 是 2 的无偏估计 故用S 来取代 , . / 即采用 0 来作为检验统计量 S n X t −  =

概车纶与款理统外 当观察值1=一凸 过分大时就拒绝H, s/n 拒绝域的形式为口=一“≥k. s/√n 根据第六章§2定理三知， 当H,为真时，X-么、tm-), SIn P当，为真拒绝H=P7物≥=a

, / 0 0 H s n x 当观察值 t 过分大时就拒绝 −  = . / 0 k s n x t  −  拒绝域的形式为 = ~ ( 1), / , 0 0 − − t n S n X H  当 为真时 { , } P 当 H0 为真 拒绝 H0 , / 0 0    =        − = k S n X P 根据第六章§2定理三知

概率伦与款理统外 得k=ta2(n-1), 拒绝域为t= x-4 ≥ta2(n-1). s/n 上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法. 在实际中，正态总体的方差常为未知，所以 我们常用t检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题

( 1), 得k = t / 2 n − ( 1) . / / 2 0  − − = t n s n x t   拒绝域为 在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以 我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题. 上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法

概车伦与散理统外「 例2如果在例1中只假定切割的长度服从正态分 布，问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变 化？(a=0.05) 解依题意X~N(4,σ)，4，σ2均为未知， 要检验假设H:4=10.5,H1:4≠10.5， 检验问题的拒绝域为 = x-0 s/n ≥tay2(n-l)

如果在例1中只假定切割的长度服从正态分 布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变 化? ( = 0.05) 解 ~ ( , ), , , 依题意 X N   2   2均为未知 : 10.5, : 10.5, 要检验假设 H0  = H1   ( 1) / 2 0  − − = t n s n x t   例2 检验问题的拒绝域为

概華论与款醒硫外「 n=15,x=10.48,s=0.237,a=0.05, ta/2(n-1)=t02s(14)=2.1448 x-4=10.48-10.5 s/n0.237/15 =0.327<2.1448 故接受H,认为金属棒的平均长度无显著变化

n = 15, x = 10.48, s = 0.237,  = 0.05, 0.237/ 15 10.48 10.5 / 0 − = − = s n x t  = 0.327  t  / 2 (n −1) = t 0.025(14) = 2.14482.1448 , . 故接受 H0 认为金属棒的平均长度无显著变化

概率伦与散程统针」 例3某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态 分布，4，o2均为未知.现测得16只元件的寿命如 下： 159 280101212224379 179264 222362168250149260 485170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？ 解依题意需检验假设 取a=0.05, Ho:W≤4=225，H1:4>225

某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态 分布, 均为未知. 现测得16只元件的寿命如 下: 222 362 168 250 149 260 485 170 159 280 101 212 224 379 179 264 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 2 , 例3 解 : 225, : 225, H0   0 = H1   依题意需检验假设 取 = 0.05