《高等数学》课程教学资源（作业习题）作业D1——-函数与极限

第一章函数与极限 班级： 姓名： 序号： 1-1映射与函数 一、填空题 1.函数y=-x的定义域为 2.函数y=arcsin(x-3)的定义域为 &函数y-+的定义城为 1 4函数y=arctan+VB-x的定义域为 5.设函数f(x)的定义域为D=[0,则函数fnx)的定义域为 6.设fx)=2x+3,则几x)-3引= 2 x,x<0.则gfF 7.设fe=,80-臣.t20 二、选择题 1.以下各组中fx)与g(x)为同一函数的是. (A)f(x)=Inx.g(x)=2Inx (B)f(x)=sinx2.g(x)=sinx (c)f(x)=.g(x)=x (D)f(x)=g()=x 2.在（一0）上，下列函数中无界的函数是 (A)y=2 (B)y=arctanx (C)y 3.下列函数中是奇函数的为」 (A) (B)10-+10 (C)x'+cosx (D)S血x 2 4设m-臣80-4.周0m (A)0 (B)-4 (C)16(D)-16 5.设函数fx)的定义域是0，则函数gx)=fx+ad)+fx-d)(0<a<的定义域是.( (A)[-a.1-a](B)[a.1+a] (C)[a.1-a](D)[-a.1+a] 6.f(x)=x(e-e)在其定义域(-oo,+oo)上是.」 (A)有界函数 (B)单调函数 《C奇函数D)偶函数

第一章 函数与极限 班级： 姓名： 序号： 1 1-1 映射与函数 一、填空题 1. 函数 2 1 1 x x y = − − 的定义域为 . 2. 函数 y = arcsin( x −3) 的定义域为 . 3. 函数 ln( 1) 1 + = x y 的定义域为 . 4. 函数 x x y = + 3− 1 arctan 的定义域为 . 5. 设函数 f (x) 的定义域为 D = [0,1]，则函数 f (ln x) 的定义域为 . 6. 设 f (x) = 2x + 3 ，则 f [ f (x) −3]= ． 7. 设 | | ( ) 2 x x f x + = ， 2 , 0, ( ) , 0, x x g x x x   =    则 g f x [ ( )]= ． 二、选择题 1．以下各组中 f x( ) 与 g x( ) 为同一函数的是 （ ） （A） 2 f x x g x x ( ) ln , ( ) 2ln = = （B） 2 2 f x x g x x ( ) sin , ( ) sin = = （C） 2 f x x g x x ( ) , ( ) = = （D） 3 f x x g x x x ( ) , ( ) = = 2．在 (−, 0) 上，下列函数中无界的函数是 ( ) （A） x y = 2 （B） y = arctan x （C） 1 1 2 + = x y （D） x y 1 = 3．下列函数中是奇函数的为 ( ) （A） x | x | （B） 2 10 10 x −x + （C） x cos x 3 + （D） x sin x 4. 设      = , 0 , , 0 , ( ) 2 x x x x f x g(x) = 5x − 4 ，则 f [g(0)] = ( ) （A）0 （B）− 4 （C）16 （D）−16 5．设函数 f x( ) 的定义域是 [0,1] ，则函数 1 ( ) ( ) ( ) (0 ) 2 g x f x a f x a a = + + −   的定义域是 （ ） （A） [ ,1 ] − − a a （B） [ ,1 ] a a + （C） [ ,1 ] a a − （D） [ ,1 ] − + a a 6. ( ) ( ) x x f x x e e − = − 在其定义域 (−,+) 上是 （ ） （A）有界函数 （B）单调函数 （C）奇函数 （D） 偶函数

三、设m引-1+cosx,求fos功 四、设函数fx)满足关系式2fx)+f-x)=x,求fx)的表达式. 五、时论函数@名的奇偶性。 2

2 三、设 x x f 1 cos 2 sin  = +      ，求 f (cos x)． 四、设函数 f x( ) 满足关系式 2 2 ( ) (1 ) f x f x x + − = ，求 f x( ) 的表达式． 五、讨论函数 e e ( ) | | e e x x x x f x x − − − = + 的奇偶性．

第一章函数与极限 班级： 姓名： 序号： 1-2数列的极限函数的极限 一、填空题 上用观聚法写出数列-}的授限： 2用观察法写出数列{-y片}的极限： 及设数列品，对于任意正数，存在自然数N- ,当n>N时，总有 二、选择题 1.数列{仁n}有界是数列{n}收敛的 .( (A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件 2.mf)存在是fx)在，的某一去心邻域内有界的 ( (A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件 3.mfx黑f)存在且相等是mfx)存在的。 (A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件 4.下列结论中正确的是 (A)有界数列必收敛(B)若mxn=a,mx2a1=a,则mx。=a (C)发散数列必无界（(D)若mx4=a,m1=a,则n,=a 5.己知fx)20,且lmf(x)=k,则必有. ( (A)k≥0 (B)k>0 (C)k=0 (D)kA (C)f(x)<A (D)lim.f(x)=4 三、根据数列授限的定义正用：巴号

第一章 函数与极限 班级： 姓名： 序号： 3 1-2 数列的极限 函数的极限 一、填空题 1. 用观察法写出数列       − n 2 1 1 的极限： . 2. 用观察法写出数列       − n n 1 ( 1) 的极限： . 3. 设数列       2 1 n ，对于任意正数  ，存在自然数 N = ，当 n  N 时，总有 − 0   1 2 n . 二、选择题 1. 数列 xn 有界是数列 xn 收敛的 （ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D） 无关条件 2. lim ( ) 0 f x x→x 存在是 0 f (x)在x 的某一去心邻域内有界的 （ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D） 无关条件 3. lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x → − ， → + 存在且相等是 lim ( ) 0 f x x→x 存在的 （ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D） 无关条件 4. 下列结论中正确的是 （ ） （A）有界数列必收敛 （B）若 x a x n a n n n = + = → → 2 2 1 lim ,lim ，则 xn a n = → lim （C）发散数列必无界 （D）若 x a x n a n n n = + = → − → 3 1 3 1 lim ,lim ，则 xn a n = → lim 5. 已知 f (x)  0 ，且 f x k x x = → lim ( ) 0 ，则必有 ( ) （A） k  0 （B） k  0 （C） k = 0 （D） k  0 6. 设 f x A x x = → lim ( ) 0 ，则必有 （ ） （A） f (x) = A （B） f (x)  A （C） f (x)  A （D） f x A x x = → + lim ( ) 0 三、根据数列极限的定义证明： 2 3 2 1 3 1 lim = + + → n n n

四、根据函数极限的定义证明：m(5x+2)=12 五、设数列{}有界，又m上=0，证明：mx以，=0 六、试给出x→∞时的函数极限的局部有界性定理，并加以证明

4 四、根据函数极限的定义证明： lim (5 2) 12 2 + = → x x 五、设数列 xn 有界，又 lim = 0 → n n y ，证明： lim = 0 → n n n x y 六、试给出 x → 时的函数极限的局部有界性定理，并加以证明

第一章函数与板限 班级： 姓名： 序号： 1-3无穷小与无穷大极限运算法则 一、填空题 L函数f=1+3在 时是无穷小，在 时是无穷大 X 2函鼓)=子的图形的水平渐近线为 一，铅直渐近线为 4+: 3x2+2x 1 6m- 8m0++2n+3)怎 5n x2+1- 9.m3x-2x+7 x2+3 10.m4-+x+5 11.lim xcos 2- 二、选择题 1.己知mf(x)+g(x刃存在，则mf(x)与mx). (A)都存在(B)都不存在(C)至少有一个存在(D)都存在或都不存在 2.当x→oo时，y=xcosx是 (A)有界函数(B)无界函数(C)无穷小 (D)无穷大 3已知=(-小0，则 (A)a=b=1(B)a=b=-1(C)a=-1,b=1(D)a=1,b=-1

第一章 函数与极限 班级： 姓名： 序号： 5 1-3 无穷小与无穷大 极限运算法则 一、填空题 1. 函数 x x f x 1 3 ( ) + = 在 时是无穷小，在 时是无穷大. 2. 函数 2 4 2 ( ) x f x − = 的图形的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 . 3. 3 5 lim 2 2 − + → x x x = . 4. x x x x x x 3 2 4 2 lim 2 3 2 0 + − + → = . 5. 1 2 1 lim 2 2 1 − − + → x x x x = . 6. 1 1 lim 2 x→−1 x − = . 7.       − − → 2 1 1 lim 2 x x x = . 8. 3 5 ( 1)( 2)( 3) lim n n n n n + + + → = . 9. 3 2 7 1 lim 2 2 − + + → x x x x = . 10. 4 5 3 lim 3 2 2 − + + + → x x x x x = . 11. x x x 1 lim cos →0 = . 12. 2 arctan lim x x x→ = . 二、选择题 1. 已知 lim [ ( ) ( )] 0 f x g x x x + → 存在，则 lim ( ) 0 f x x→x 与 lim ( ) 0 g x x→x ( ) （A）都存在 （B）都不存在 （C）至少有一个存在 （D）都存在或都不存在 2．当 x → 时， y = x cos x 是 ( ) （A）有界函数 （B）无界函数 （C）无穷小 （D）无穷大 3．已知 0 1 1 lim 2 =        − − + + → ax b x x x ，则 ( ) （A） a = b =1 （B） a = b = −1 （C） a = −1, b =1 （D） a =1, b = −1

三、计算下列极限 品品品) 4.m1+2+3++m- 2 5}-)

6 三、计算下列极限 1. 5 4 6 8 lim 2 2 4 − + − + → x x x x x 2. h x h x h 2 2 0 ( ) lim + − → 3.       − − → − 3 1 1 3 1 1 lim x x x 4. 2 1 2 3 ( 1) lim n n n + + + + − →  5.        −       −      − → 2 2 2 1 1 3 1 1 2 1 lim 1 n n 

第一章函数与极限 班级： 姓名： 序号： 1-4极限存在准则两个重要极限无穷小的比较 一、填空题 1 2胆 3.li xcotx- : 6.m0+2x)- 7.当x→0时，1-c0sx是x2的 无穷小 8.当x→1时，1-x2是1-x的 无穷小 9.当x→0时，tanx-snx与x2相比， 是高阶无穷小 二、选择题 1.当x→0时，下列哪一个函数是其他三个的高阶无穷小？.（ (A)arctanx (B)e2-1 (C)sin3x (D)In(1+x) 2.当x→0时，（e0s3x-cosx)是x的 (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但非等价无穷小 3.数列极限im(n-)-h川为-. ) (A)1 (B)-1 (C)0 (D)不存在 4函数极限口如2“为 (A)2 (B)1 (C)0 (D)不存在 三、计算下列极限 上

第一章 函数与极限 班级： 姓名： 序号： 7 1-4 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 一、填空题 1. x x x tan 2 sin 3 lim →0 = . 2. x x x 1 lim sin → = . 3. x x x lim cot →0 = . 4. x x x 2 1 lim 1       − → = . 5. x x x k       + → lim 1 = . 6. ( ) 1 0 lim 1+2 x x x → = . 7. 当 x →0 时， 1−cos x 是 2 x 的_无穷小. 8. 当 x →1 时， 3 1− x 是 1− x 的 无穷小. 9. 当 x →0 时， tan x −sin x 与 2 x 相比，_是高阶无穷小. 二、选择题 1. 当 x → 0 时，下列哪一个函数是其他三个的高阶无穷小？ （ ） （A） arctan x （B） 1 2 − x e （C） sin 3x （D） 2 ln(1 ) + x 2. 当 x →0 时， (cos 3 cos ) 4 1 x − x 是 2 x 的 （ ） （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小 3. 数列极限 n n n n lim ln( −1) − ln → 为 （ ） （A） 1 （B）−1 （C） 0 （D）不存在 4. 函数极限 x x x sin 2 lim → 为 （ ） （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D）不存在 三、计算下列极限 1. x x x x 3 0 sin tan sin lim − →

22 a 4回 、利用极限在准则证明：巴示2示n 五、证明：当0时，0cx-小~号

8 2. x x x x sin 1 cos 2 lim 0 − → 3. x x x x       + → 2 lim 4. 2 0 cos3 cos2 lim ln(1 ) x x x → x − + 四、利用极限存在准则证明： 1 1 2 1 1 lim 2 2 2  =      + + + + + → n + n  n n n n  五、证明：当 x → 0 时， 2 sec 1~ 2 x x −

第一章函数与极限 班级： 姓名： 序号： 1-5函数的连续性与间断点初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 一、填空题 1.函数fx)={x 血x,x>0在x=0连续，则a= x+a,x≤0 2.函数)=任+的无穷间断点是 ,可去间断点是 x-2x-3 3.(2cos3x)= 4.函数f)=+3r-x-3的连续区间为 x2+x-6 lim f(x)= lim f(x)= lim f(x)= 二、选择题 1.x=0是函数f)=的 (A)可去间断点 (B)跳跃间断点(C)无穷间断点(D)振荡间断点 2.x=0是函数/)=arctan的 (A)可去间断点 (B)跳跃间断点(C)无穷间断点(D)振荡间断点 3.x=0是两数f)=h+型的 x .（ (A)连续点 (B)跳跃间断点(C)可去间断点(D)无穷间断点 三、计算下列极限 1

第一章 函数与极限 班级： 姓名： 序号： 9 1-5 函数的连续性与间断点 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 一、填空题 1. 函数 sin , 0 ( ) , 0 x x f x x x a x    =    +  在 x = 0 连续，则 a = . 2. 函数 2 2 ( 1) ( ) 2 3 x f x x x + = − − 的无穷间断点是 ,可去间断点是 . 3. lim ln( 2cos3 ) 0 x x→ = . 4. 函数 6 3 3 ( ) 2 3 2 + − + − − = x x x x x f x 的连续区间为 ， lim ( ) 0 f x x→ = ， lim ( ) 3 f x x→− = ，lim ( ) 2 f x x→ = . 二、选择题 1. x = 0 是函数 x x f x sin ( ) = 的 （ ） （A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点 2. x = 0 是函数 x f x 1 ( ) = arctan 的 （ ） （A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点 3. x = 0 是函数 x x f x ln(1 ) ( ) + = 的 （ ） （A）连续点 （B）跳跃间断点 （C）可去间断点 （D）无穷间断点 三、计算下列极限 1. x x x 1 1 lim 0 + − →

2如5-4-G x-1 3.m+x-F-) 4.i(+3tanx) 四、证明方程x3-3x=1至少有一根介于1和2之间. 10

10 2. 1 5 4 lim 1 − − − → x x x x 3. lim ( ) 2 2 x x x x x + − − →+ 4. x x x 2 2 cot 0 lim (1+ 3tan ) → 四、证明方程 3 1 3 x − x = 至少有一根介于 1 和 2 之间