《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章课件

Advanced mathematics 第三章 高等数学 元函数积分学及其应用 人民邮电出版社

1 第三章 一元函数积分学及其应用 第三章 人民邮电出版社 Advanced mathematics 高等数学 一元函数积分学及其应用

第三章 内容导航 第一节不定积分的概念与性质 第二节不定积分的换元法与分部法 第三节有理函数的不定积分 第四节定积分的概念与性质 第五节微积分基本定理 第六节定积分的换元法和分部法 第七节定积分的换元法和分部法 第八节反常积分

2 第三章 一元函数积分学及其应用 第三章 内容导航 第二节 不定积分的换元法与分部法 第三节 有理函数的不定积分 第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的换元法和分部法 第八节 反常积分 第一节 不定积分的概念与性质

课前导读 上一章介绍了导数的概念，例如，已知函数y=sin2x,求其导函数，即 y'=(sin2x)'=2cos2x. 现在我们来做一件相反的事情：已知某个函数的导函数是cos2x,即 （)）'=cos2x,问：这个函数是什么？ 利用导数公式可以猜到，这个函数可以是y=)n2x,也可以是 y=2s1n2x+1,答案并不唯一 这种已知函数的导数或微分，求该函数的运算称为‘“积分”运算.本 节将介绍不定积分的概念及其计算方法

课 前 导 读 3 上一章介绍了导数的概念, 例如, 已知函数 y x = sin 2 , 求其导函数, 即 y x x ' sin 2 ' 2cos2 = = ( ) . 现在我们来做一件相反的事情: 已知某个函数的导函数是cos2x , 即 ( )' cos2 = x , 问: 这个函数是什么? 利用导数公式可以猜到, 这个函数可以是 1 sin 2 2 y x = , 也可以是 1 sin 2 1 2 y x = + , 答案并不唯一. 这种已知函数的导数或微分, 求该函数的运算称为“积分”运算. 本 节将介绍不定积分的概念及其计算方法

原函数 第三章一元函数积分学及其应用 定义1已知f(x)是定义在某区间1内的函数，若存在函数F(x),使得 F(x)=fx)或者dFx)=fxd,xeI 则称F(x)为区间1上f(x)的原函数 可以证明，若函数f(x)在某区间上连续，则在该区间上f(x)的原函数一定 存在，即在区间I上存在可导函数F(x),使F(x)=fx)x∈I.也就是说，连续 函数一定有原函数

4 第三章 一元函数积分学及其应用 定义1 F(x) = f (x)或者dF(x) = f (x)dx , xI , 则称 F(x)为区间 I 上 f (x)的原函数. 一、原函数 已知 f x( )是定义在某区间 I 内的函数, 若存在函数 F x( ) , 使得 可以证明, 若函数 f x( ) 在某区间上连续, 则在该区间上 f x( ) 的原函数一定 存 在, 即在区间 I 上存在可导函数 F(x), 使 F(x) = f (x), x I . 也就是说, 连 续 函数一定有原函数

原函数 第三章一元函数积分学及其应用 另外，若F(x)为f(x)的一个原函数，因 (F(x)+C)y=f(x)(C为任意常数) 故F(x)+C也为f(x)的原函数.由于C的任意性，故f(x)有无穷多个原函 数 假设F(x)和G(x)都是f(x)在区间I上的原函数，因为G(x)=F(x)+C,故 由拉格朗日中值定理的推论可知，G(x)和F(x)只相差一个常数，即 G(x)=F(x)+C. 因此，若F(x)为f(x)的一个原函数，则f(x)的全部原函数可以表示为 F(x)+C(C为任意常数)

5 第三章 一元函数积分学及其应用 另外, 若 F x( )为 f x( ) 的一个原函数, 因 ( ( ) ) ( ) F x C f x + = (C 为任意常数). 故 F x C ( ) + 也为 f x( ) 的原函数. 由于C 的任意性, 故 f x( ) 有无穷多个原函 数. 假设 F x( )和G x( )都是 f x( ) 在区间 I 上的原函数, 因为G x F x C ( ) ( ) = + , 故 由拉格朗日中值定理的推论可知, G x( )和 F x( )只相差一个常数, 即 因此, 若 F x( )为 f x( ) 的一个原函数, 则 f x( ) 的全部原函数可以表示为 F x C ( ) + (C 为任意常数). 一、原函数 G x F x C ( ) ( ) = +

不定积分 第三章一元函数积分学及其应用 定义2 在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称 ◇ 为f(x)在区间I上的不定积分，记作[fxHx,即 不定积分的概念 ∫fxHr=Fx)+C 其中，符号[称为积分号，称f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达 式，x称为积分变量，F(x)是f(x)的一个原函数

6 第三章 一元函数积分学及其应用 定义2 f (x) x = F(x) + C  d . 其 中, 符 号  称 为积分号, 称 f (x)为被积函数, f x x ( )d 称 为被积表达 式, x称为积分变量, F(x)是 f (x)的一个原函数. 不定积分的概念 二、不定积分 在区间 I 上, 函 数 f x( ) 的带有任意常数项的原函数称 为 f x( ) 在区间 I 上的不定积分, 记作 f (x)dx  , 即

不定积分 第三章一元函数积分学及其应用 由定义知，求函数f)的不定积分，就是求fx)的全体原函数在f(x)dx 中， 积分号∫表示对函数f)施行求原函数的运算，故求 不定积分的运算实质上就是求导求微分)运算的逆运算

7 第三章 一元函数积分学及其应用 由定义知, 求函数 f (x) 的不定积分, 就是求 f (x) 的全体原函数.在 f x x ( )d  中, 积分号 表示对函数 f (x) 施行求原函数的运算, 故求 不定积分的运算实质上就是求导(求微分)运算的逆运算. 二、不定积分

二 不定积分 第三章一元函数积分学及其应用 按照定义，一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间.为了简便起 见，如无特别的说明，今后就不再注明 例1 设f)和fx)均连续，问：d（fx)dr)与f(xh是否相等？ 解 不相等 设F'(x)=f(x),则 &a品r+O-F)+0= 而由不定积分定义/x)d=f)+c,知&fx)d)+fx) 8

8 第三章 一元函数积分学及其应用 例1 设 f (x) 和 f x'( ) 均连续, 问: ( ) d ( )d d f x x x  与 f x x ( )d  是否相等? 解 不相等. 设 F(x) = f (x),则 ( ) d ( )d d f x x x  d ( ( ) ) d F x C x = + = F(x) + 0 = f (x). 而由不定积分定义 f x x ( )d  = f (x) + C , 知 ( ) d ( )d d f x x x   f x x ( )d  . 二、不定积分 按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明

不定积分 第三章一元函数积分学及其应用 例2「x“dr(a≠-l,x>0). 解 因为(axa+)y=(a+1)x所以 即是F的个原函数故 ∫rd=1x+C +1

9 第三章 一元函数积分学及其应用 解 因为 1 ( ) ( 1) x x    +  = + , 二、不定积分 1 1 d 1 x x x C    + = + +  . 例2 x x x d ( 1, 0)    −   . 所以 1 1 ' 1 x x      +   =   + , 即 1 1 1 x   + + 是 x  的一个原函数. 故

二 不定积分 第三章一元函数积分学及其应用 例3 求∫dx(∫xd) 解 当x>0时，mxy=1 当x0时m(-x=1(←1)= 故nx为二在(0，+w)上的一个原函数，ln(-x)为二在(-o,0)上的一个原函 数 故当x≠0时，nx为二的一个原函数，从而 ∫片dr=ln+C(x≠o 10

10 第三章 一元函数积分学及其应用 例3 求 1 dx x  ( 1 x xd −  ). 解 当 x  0时, 1 (ln ) x x  = ; 当 x  0 时, 即− x 0时, 1 1 [ln( )] ( 1) x x x − =  − =  − . 故 ln x 为 1 x 在 (0, ) + 上的一个原函数, ln( ) −x 为 1 x 在 ( ,0) − 上的一个原函 数. 故当 x  0时, ln x 为 1 x 的一个原函数, 从而 1 d ln ( 0) x x C x x = +   . 二、不定积分