《高等数学》课程教学资源（作业习题）作业——-微分中值定理与导数的应用

第三章嫩分中值定理与导教的应用班级： 姓名： 序号： 1微分中值定理 一、填空题 1.函数y=hsmx在区间？，5江]上满足罗尔定理的条件，定理结论中的点5= L6’6J 2.设f(x)=x(x+12x+103x-),则在区间(-1,0)内方程∫'(x)=0有 个实根 在区间(-1，)内方程∫"(x)=0有 个实根. 3.设imf'(x)=k,则1im[f(x+a)-f(x】=_ 二、选择题 1.下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是.」 (A)yxl,【-l,月 (B)y=sin x.[0] (c)y=In x.[l.e] (D)y=arctanx.[0.1] 2.fx)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，fa)0(D)必存在5e(a,b),使f'(5)b>0,证明：g=b1时，e>ex

第三章 微分中值定理与导数的应用 班级： 姓名： 序号： 1 1 微分中值定理 一、填空题 1. 函数 y = ln sin x 在区间       6 5 , 6   上满足罗尔定理的条件，定理结论中的点  = . 2. 设 f (x) = x(x +1)(2x +1)(3x −1)，则在区间 (−1,0) 内方程 f (x) = 0 有 个实根， 在区间 (−1,1) 内方程 f (x) = 0 有 个实根. 3. 设 f x k x  = → lim ( ) ，则 lim[ f (x a) f (x)] x + − → = . 二、选择题 1．下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是 ( ) （A） y =| x |, [−1,1] （B） y = sin x, [0,  ] （C） y = ln x, [1,e] （D） y = arctan x, [0,1] 2． f (x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， f (a)  f (b) ，则 ( ) （A）必存在  (a, b) ，使 f ( ) = 0 （B）不存在  (a, b) ，使 f ( ) = 0 （C）必存在  (a, b) ，使 f ( )  0 （D）必存在  (a, b) ，使 f ( )  0 三、设 a  b  0, 证明： b a b a b a a b −  −  − ln ln 四、证明：当 x 1 时， e ex x 

五、正明对在金正或布布 六、证明方程x3+x-1=0有且只有一个正根。 七、设f(x)在0，a叫上连续，在(0，a)内连续，且f(a)=0,证明存在一点5∈(0，a),使 f(5)+f'(5)=0

2 五、证明：对任意正整数 n ，都有 n n n 1 1 ln 1 1 1         + + 六、证明方程 1 0 5 x + x − = 有且只有一个正根. 七、设 f (x) 在 [0, a] 上连续，在 (0,a) 内连续，且 f (a) = 0 ，证明存在一点  (0, a) ，使 f ( ) +f ( ) = 0

第三章徽分中值定理与导教的应用班级： 姓名： 序号： 2洛必达法则泰勒公式 一、填空题 1.m0-sma。 x-a 2 3.m(1+x少= 4.已知m-m-=1,则a=—一b=_ 01-V1-x2 6.当x→0时，与x2相比，e'-cosx是x2的 无穷小 二、用洛必达法则求下列极限 【 2品 &(

第三章 微分中值定理与导数的应用 班级： 姓名： 序号： 3 2 洛必达法则 泰勒公式 一、填空题 1. x a x a x a − − → sin sin lim = . 2. x e x x e − − → ln 1 lim = . 3. x x x 1 lim (1+ ) →+ = . 4. 已知 1 1 1 lim 0 2 = − − − − → x e ax b x x ，则 a = ，b = ． 5.       − − → − 1 1 1 2 lim 2 x 1 x x = . 6. 当 x →0 时，与 2 x 相比， e x x − cos 是 2 x 的 无穷小. 二、用洛必达法则求下列极限 1. x e e x x x sin lim 0 − → − 2. x x x tan 3 tan lim 2  → 3.       − → x − x x x ln 1 1 lim 1

4g-动m受 5.m1+e) 6.x 三、利用奉勒公式求极限：+e"-20s-2 x6 g

4 4. 2 lim (1 )tan 1 x x x  − → 5. x x x e 1 lim (1+ ) →+ 6. x x x sin 0 lim → + 三、利用泰勒公式求极限: 6 2 0 2cos 2 lim x e e x x x x x + − − − →

第三章徽分中值定理与导教的应用班级： 姓名： 序号： 3函数的单调性与曲线的凹凸性 一、填空、选择题 1.函数y=x+√-x的单调减少区间是 2.曲线y=e在区间 上是凸的. 3.如果点(L,3)是曲线y=am3+br2的拐点，则有a=_ ，b= 4.设f)在0.上有二阶导数，且了)>0，则下列不等式中正确的是（） (A)f>f0)>f0-f0: (B)f'④>f0⑩-f0)>f'o: (C)f0-f0)>f'四>f0): (D)f④>f0)-f0>"0· 5。f)二阶可导f>0,f0时，有（ (A)△yAy>0: (C)4y>dy>0: (D)d<Ay<0. 二、确定下列函数的单调区间 1.y=2x2-6x2-18x-7 2=2+0 三、求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 1.y=x2-5x2+3x+5

第三章 微分中值定理与导数的应用 班级： 姓名： 序号： 5 3 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、填空、选择题 1. 函数 y = x + 1− x 的单调减少区间是 . 2. 曲线 2 x y e − = 在区间 上是凸的. 3. 如果点 (1,3) 是曲线 3 2 y ax bx = + 的拐点，则有 a = ，b = 。 4.设 f (x) 在 [0,1] 上有二阶导数，且 f (x)  0 ，则下列不等式中正确的是 ( ) （A） f (1)  f (0)  f (1) − f (0) ； （B） f (1)  f (1) − f (0)  f (0) ； （C） f (1) − f (0)  f (1)  f (0) ； （D） f (1)  f (0) − f (1)  f (0) ． 5． f (x) 二阶可导 f (x)  0 ， f x ( ) 0  ，则在点 0 x 处，当  x 0 时，有 ( ) （A）    y yd 0 ； （B） dy y    0 ； （C）    y yd 0 ； （D） d 0 y y    ． 二、确定下列函数的单调区间 1. 3 2 y x x x = − − − 2 6 18 7 2. 8 y x x 2 , ( 0) x = +  三、求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 1. 3 2 y x x x = − + + 5 3 5

2.y=xe 3.y=n1+x2) 四、证明下列不等式 l.当x≥0时，arctanx≤x 2.当x>0时，1+xln(x+V+x)>√+x

6 2. x y xe − = 3. ln(1 ) 2 y = + x 四、证明下列不等式 1．当 x  0 时， arctan x x  2.当 x  0 时， 2 2 1 ln( 1 ) 1 + + +  + x x x x

第三章徽分中值定理与导教的应用班级： 姓名： 序号： 4函数的极值与最大值最小值 一、填空、选择题 1.fx)=0是可微函数fx)在x,取得极值的 条件。 2.函数yx在 一处取得极小值为一，在 处取得极大值为 3.己知函数fx)=x2+32-m-1既无极大值又无极小值，则a的取值范围为 4.对于实数x,要使x+4px+1>0,p的取值范围是 5.函数y=x2-54红<0)在 处取得最小值。 6.设f)有二阶连续的导数，且了0)=0，m国=1，则 (A)fO)是fx)的极大值 (B)fO是fx)的极小值 (C)(0,f0)是y=fx)的拐点(D)以上说法都不对 1。在=a的莱每城内连装，且典但9-，则在=a处一 (A)不可导(B)可导，且f)≠0(C)取得极小值(D)取得极大值 二、求下列函数的极值 1.y=2x2-6x2-18x-3 2.y=x-In(1+x) 3.y=x+-x

第三章 微分中值定理与导数的应用 班级： 姓名： 序号： 7 4 函数的极值与最大值最小值 一、填空、选择题 1. f (x0 ) = 0 是可微函数 f (x) 在 0 x 取得极值的 条件． 2. 函数 | e | x y x − = 在 处取得极小值为 ，在 处取得极大值为 . 3. 已知函数 3 2 f x x ax ax ( ) 3 1 = + − − 既无极大值又无极小值，则 a 的取值范围为 ． 4. 对于实数 x ，要使 4 3 x p x + +  4 1 0， p 的取值范围是 ． 5. 函数 ( 0) 2 54 = − x  x y x 在 处取得最小值. 6．设 f (x) 有二阶连续的导数，且 f (0) = 0， 1 ( ) lim 0 =  → x f x x ，则 ( ) （A） f (0) 是 f (x) 的极大值 （B） f (0) 是 f (x) 的极小值 （C） (0, f (0)) 是 y = f (x) 的拐点 （D）以上说法都不对 7． f (x) 在 x = a 的某邻域内连续，且 1 ( ) ( ) ( ) lim 2 = − − − → x a f x f a x a ，则 f (x) 在 x = a 处 ( ) （A）不可导 （B）可导，且 f (a)  0 （C）取得极小值 （D）取得极大值 二、求下列函数的极值 1． 3 2 y x x x = − − − 2 6 18 3 2. y x x = − + ln(1 ) 3. y x x = + −1

三、设函数=a5血x+兮m3江在x一号处取得极值，求常数a,并求此极值（说明是极大值还是 极小值) 四、求函数y=x-8x2+2在区间[-1,3引上的最大值和最小值。 五、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁，问应围成怎样的长方形 才能使这间小屋的面积最大？ 六、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面的面积为5m2,问底宽x为多少时才能使截面的 周长最小，从而使建造时所用的材料最省？

8 三、 设函数 1 ( ) sin sin 3 3 f x a x x = + 在 3 π x = 处取得极值，求常数 a ，并求此极值（说明是极大值还是 极小值） 四、 求函数 4 2 y x x = − + 8 2 在区间 [ 1,3] − 上的最大值和最小值。 五、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20m 长的墙壁，问应围成怎样的长方形 才能使这间小屋的面积最大? 六、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面的面积为 2 5m ，问底宽 x 为多少时才能使截面的 周长最小，从而使建造时所用的材料最省?

第三章徽分中值定理与导教的应用班级： 姓名： 序号： 5函数图形的描绘曲率 一、填空题 L.曲线y=e:的水平渐近线为 2曲线少的水平有近找为 一，铅直渐近线为 3.半径为R的圆上任一点处的曲率为 4.直线L上任一点处的曲率为 5.双曲线xy=1在点(1，)处的曲率半径为 二、求椭圆4x2+y2=4在点(0,2)处的曲率. 三、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径 四、对数曲线y=nx上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径. 9

第三章 微分中值定理与导数的应用 班级： 姓名： 序号： 9 5 函数图形的描绘 曲率 一、填空题 1. 曲线 x y e 1 = 的水平渐近线为 . 2. 曲线 1 1 − = x y 的水平渐近线为 ,铅直渐近线为 . 3. 半径为 R 的圆上任一点处的曲率为 . 4. 直线 L 上任一点处的曲率为 . 5. 双曲线 xy =1 在点 (1,1) 处的曲率半径为 . 二、求椭圆 4 4 2 2 x + y = 在点 (0,2) 处的曲率. 三、求抛物线 4 3 2 y = x − x + 在其顶点处的曲率及曲率半径. 四、对数曲线 y = ln x 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径

五、描绘下列函数的图形 1.y=1+x 2.y=2+

10 五、描绘下列函数的图形 1. 2 1 x x y + = 2. x y x 2 1 = +