《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.3 相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型 §5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、方阵可对角化的条件 三、小结

第五章 相似矩阵与二次型 §5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、方阵可对角化的条件 三、小结

第五章相似矩阵与二次型 相似矩阵与相似变换的概念 定义5.3.1设A,B都是阶矩阵，若有可逆矩阵P,使 P-AP=B, 则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似对A进 行运算PAP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 1 1 , , , , 5.3.1 , . , . A B n P P AP B B A A B A P AP A P A B − − = 设 都是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 则称 是 的 或说矩阵 与 相似 对 进 行运算 称为对 进行 可逆矩阵 称为把 变 相似 成 的 矩阵 相似变换 相 定 似变换矩阵 义 一、相似矩阵与相似变换的概念

第五章相似矩阵与二次型 相似矩阵与相似变换的性质 1.等价关系 ()自反性A与A本身相似； (2)对称性A与B相似，则B与A相似； (3)传递性A与B相似，B与C相似，则A与C相似. 2.P-(A4)P=(PAP)(P-4P). 3.若A与B相似，则Am与B"m相似（为正整数）. 4.P(k A+kA)P=k P-AP+kPAP 其中k,k,是任意常数

第五章 相似矩阵与二次型 1. 等价关系 1 1 1 1 2 1 2 2. ( ) ( )( ). P A A P P A P P A P − − − = 3.若A与B相似,则A 与B 相似(m为正整数). m m 相似矩阵与相似变换的性质 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 4. ( ) , . P k A k A P k P A P k P A P k k − − − + = + 其中 是任意常数 (1)自反性 A与A本身相似； (2)对称性 A与B相似，则B与A相似； (3)传递性 A与B相似，B与C相似，则A与C相似

第五章相似矩阵与二次型 定理5.3.1 若阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同，从而A与B的特征值亦相同. 证明A与B相似，存在可逆阵P,使得P-AP=B 于是B-E=P-AP-P-(2E)P =P(A-E)P P-A-RE P =A-E

第五章 相似矩阵与二次型 证明 1 A B P P AP B , − 与 相似，存在可逆阵 使得 = ( ) 1 1 B E P AP P E P   − − 于是 − = − = P (A− E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . 5.3.1 , , . n A B A B A B 若 阶矩阵 与 相似 则 与 的特征多项 式相同 从而 与 的特征值 定 亦相同 理

第五章相似矩阵与二次型 推论1若阶方阵与对角阵 九2 Λ= 相似，则2,22，.，2，即是4的个特征值. 推论2若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B), 一般地，方阵A与对角阵相似，我们就称方阵A可 对角化

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , , , , . 1 n n n A n            =         推 若 阶方阵与对角阵 相似 则 即是 的 个特征值 论 推论2 若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B). 一般地，方阵A与对角阵相似，我们就称方阵A可 对角化

第五章相似矩阵与二次型 二、方阵可对角化的条件 定理5.3.2阶方阵A可对角化的充要条件是 A有个线性无关的特征向量。 证明假设存在可逆阵P,使P-1AP=△为对角阵， 把P用其列向量表示为P=[p,P2,.,Pn] 由P1AP=Λ，得AP=PA, 即a]H[AP =[LP1,2P2,.,npn]

第五章 相似矩阵与二次型 证明 1 P P AP , , − 假设存在可逆阵 使 = 为对角阵 1 2 , , , . P P p p p = n   把 用其列向量表示为   . 5.3.2 n A A n 阶方阵 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特 定 征向量 理 二、方阵可对角化的条件 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n A p p p p p p              =          即 1 1 2 2 , , , . n n =      p p p   , , 1 =  =  − 由P AP 得AP P

第五章相似矩阵与二次型 .A[p,P2,.,Pn]=[Ap,Ap2,.,An] =[p1,3P2,.,nPn] 于是有Ap=P:(i=1,2,.,) 可见2，是A的特征值，而P的列向量P,就是 A的对应于特征值2的特征向量： 又由于P可逆，所以1，P2,.,pn线性无关 反之，由于A恰好有个线性无关的特征向量， 这个特征向量即可构成可逆矩阵P,使PAP=A

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , n n n n A p p p Ap Ap Ap    p p p  =         =     ( 1,2, , ). 于是有 Ap p i n i i i = =  , . i i i A P p A   可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 的对应于特征值 的特征向量 1 2 , , , , . 又由于P p p p 可逆 所以 n 线性无关 1 , , , . A n n P P AP − =  反之 由于 恰好有 个线性无关的特征向量 这 个特征向量即可构成可逆矩阵 使

第五章相似矩阵与二次型 说明如果4的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量， A还是能对角化. 推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等， 则A与对角阵相似 注意：矩阵A有n个互不相等的特征值只是A可 对角化的充分条件，而非必要条件

第五章 相似矩阵与二次型 推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等， 则A与对角阵相似． 说明 如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化． 注意：矩阵A有n个互不相等的特征值只是A可 对角化的充分条件，而非必要条件

第五章相似矩阵与二次型 例1判断下列方阵能否对角化 -1 -2 1 -4 3 (3) 0 0 3 解(1)由§2例1知，A有两个线性无关的特征向量 (或A有两个不同特征值)，因而A可以对角化，且存 在可逆阵P P-AP= 04 0

第五章 相似矩阵与二次型 1 1 1 0 2 1 1 3 1 (1) (2) 4 3 0 (3) 0 2 0 1 3 1 0 2 4 1 3     − −   −     −         −         − 例 判断下列方阵能否对角化 解 (1)由§2例1知，A有两个线性无关的特征向量 (或A有两个不同特征值)，因而A可以对角化，且存 在可逆阵P 1 2 0 1 1 0 4 1 1 P AP P −     = =         − 其中

第五章相似矩阵与二次型 (2)由§2例2知，A只有两个线性无关的特征向量，因 而A不能对角化. (3)由§2例3和定理2知，A有三个线性无关的特征向量， 因而A可以对角化，且存在可逆阵P,使得 1 01 P-AP= 2 其中P= 010 2 1-14

第五章 相似矩阵与二次型 (2)由§2例2知，A只有两个线性无关的特征向量，因 而A不能对角化 . (3)由§2例3和定理2知，A有三个线性无关的特征向量， 因而A可以对角化，且存在可逆阵P,使得 1 1 1 0 1 2 0 1 0 2 1 1 4 P AP P −     −     = =             − 其中