《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第三章 矩阵的运算 §3.4 分块矩阵

第三章矩阵的运算 §3.4分块矩阵 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 三、矩阵乘法的几种分块方法 四、分块对角矩阵

第三章 矩阵的运算 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 四、分块对角矩阵 §3.4 分块矩阵 三、矩阵乘法的几种分块方法

第三章矩阵的运算 一、分块矩阵的概念 定义1设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上一 些线，把这个矩阵分成若干小块.用这种方法被分 成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵每一小块称 为A的子块，每一个分块的方法叫做A一种分法， 411012:013 14:015 例如 24 A- 121 22 L23 l25 031 32 033 34月 35 L43 L44:4s」 则A可记作 A= A A A A21 A A3」

第三章 矩阵的运算 一、分块矩阵的概念 定义1 设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上一 些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种方法被分 成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵.每一小块称 为A的子块，每一个分块的方法叫做A一种分法. 例如 31 32 3 11 3 13 14 23 24 1 41 42 5 25 34 43 4 12 2 35 1 4 5 22 4 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a       =       则A可记作 21 1 12 3 1 2 2 13 A 2 A A A A A   A =    

第三章矩阵的运算 如： 2 3 4 2 3 5 6 7 8 5 6 8 -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 -1 -8 -7 -6 -5 -8 -7 -6 -5 则不是分块矩阵. 注意： 1.横线必须贯穿矩阵的上下和左右，即分块矩阵 的每行子块的行数相同，每列子块的列数相同

第三章 矩阵的运算 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 8 7 6 5         − − − −     − − − − 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 8 7 6 5         − − − −     − − − − 如： 则不是分块矩阵. 注意： 1.横线必须贯穿矩阵的上下和左右，即分块矩阵 的每行子块的行数相同，每列子块的列数相同

第三章矩阵的运算 2.给定一个矩阵，由于横线和纵线的取法不同， 所以可以得到不同的分块矩阵， 3.矩阵的分块方法包括行的分块方法和列的分 块方法，只有当行的分块方法和列的分块方法 都一致时，分块矩阵才惟一确定. 4.在进行分块矩阵的运算时，要保证进行运算 的矩阵分块前后都可以运算，并且运算结果要 一致才可以 5.在进行分块矩阵的运算时，只需要将子块 当成数去处理，运算规律遵循矩阵的运算

第三章 矩阵的运算 2.给定一个矩阵，由于横线和纵线的取法不同， 所以可以得到不同的分块矩阵. 3.矩阵的分块方法包括行的分块方法和列的分 块方法，只有当行的分块方法和列的分块方法 都一致时，分块矩阵才惟一确定. 4.在进行分块矩阵的运算时，要保证进行运算 的矩阵分块前后都可以运算，并且运算结果要 一致才可以. 5.在进行分块矩阵的运算时，只需要将子块 当成数去处理，运算规律遵循矩阵的运算

第三章矩阵的运算 2.特殊分法设矩阵A=(a,)n A A 按行分块A= 其中A=(a1,42,.,4n)》 i=1,2,.,S. 按列分块A=（A1,A2,.,An),其中A= azj j=1,2,.,n

第三章 矩阵的运算 2.特殊分法 设矩阵 ( ) , A a = ij s n 按列分块 A A A A = ( 1 2 , , , n ) ，其中 1 2 , j j j nj a a A a       =         j n = 1,2, , . 按行分块 1 2 , s A A A A     =         其中 1 2 ( , , , ), A a a a i i i in = i s = 1,2, ,

第三章矩阵的运算 行列都要分，并且分到最细，得到 12 1 L21 L22 此时，分块矩阵就是前面矩阵.于是我们可以说 分块矩阵是矩阵的推广，矩阵是分块矩阵的一 种特殊情况

第三章 矩阵的运算 行列都要分，并且分到最细，得到               m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 此时，分块矩阵就是前面矩阵.于是我们可以说 分块矩阵是矩阵的推广，矩阵是分块矩阵的一 种特殊情况

第三章矩阵的运算 二、分块矩阵的运算 1、加法 设A,B是两个mXn矩阵，对它们用 同样的分法分块： .e.e B 4- B Apl B 其中子块A,与B为同型矩阵，则 Au+Bu A+B= LAn1+Bp1.Apg+Bpg

第三章 矩阵的运算 11 1 11 1 1 1 , q q p pq p pq A A B B A B A A B B         = =             1、加法 设 A, B 是两个m×n 矩阵，对它们用 同样的分法分块: 二、分块矩阵的运算 11 11 1 1 1 1 . q q p p pq pq A B A B A B A B A B   + +   + =     + +   其中子块 Aij 与 Bij 为同型矩阵，则

第三章矩阵的运算 2、数量乘法 A1 设分块矩阵A= 几是任意数，则 A1 九A=

第三章 矩阵的运算 2、数量乘法 设分块矩阵 11 1 1 , , q p pq A A A A A      =       是任意数 则 11 1 1 q p pq A A A A A          =      

第三章矩阵的运算 3、 乘法把矩阵A=(ax),B=(bg)xp分块成 [A1 [B A= A 其中A1,A2,.,A的列数分别等于B1,B2j,. B的行数，那末 C } 其中C,=∑AwBg(i=1,pj=1,)

第三章 矩阵的运算 11 1 11 1 1 1 1 2 1 2 , , , , , , , , , t q p pt t tq i i it j j tj A A B B A B A A B B A A A B B B         = =             其 中 的 列 数 分 别 等 于 的 行 数 那 末 ( ) 11 1 1 1 1, , ; 1, , . q p pq t ij ik kj k C C AB C C C A B i p j q =     =       其 中 = = =  3、乘法 把矩阵 ( ) , ( ) A a B b = = ik m s kj s p   分块成

第三章矩阵的运算 注意： 1、当左边分块矩阵的列的分块方法和右边矩阵 的行的分块方法一致时，分块矩阵才可以相乘. 2、两个分块矩阵的乘积分块矩阵的行数和列 数分别等于左面分块矩阵的行数和右边分块矩 阵的列数 3分块矩阵的第行第列的元素等于左边分块矩 阵的第行子块与右边分块矩阵的第列子块对应 相乘求和，即有 Ci=ABj+.+ApBp

第三章 矩阵的运算 注意： 1、当左边分块矩阵的列的分块方法和右边矩阵 的行的分块方法一致时，分块矩阵才可以相乘. 2、两个分块矩阵的乘积分块矩阵的行数和列 数分别等于左面分块矩阵的行数和右边分块矩 阵的列数. 3.分块矩阵的第i行第j列的元素等于左边分块矩 阵的第i行子块与右边分块矩阵的第j列子块对应 相乘求和,即有 Ci j = Ai1 B1 j ++ Ai pBp j