《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-2 方阵的特征值与特征向量

第五章相似矩阵与二次型 $5.2方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 >二、特征值与特征向量的性质 >三、特征值与特征向量的求法

第五章 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法

第五章相似矩阵与二次型 一、方阵的特征值与特征向量的概念 定义5.2.1设A是n阶矩阵，若存在实数l和非零向 量x,使得Ax=lx成立，则称数I为方阵A的特征 值，非零向量x称为A的对应于特征值I的特征向量. 说明：1.一个特征向量只能属于一个特征值， 但是一个特征值可能有多个特征向量； 2.阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (A-1E)x=0有非零解的1值，即满足方程A-IE =0的l都是矩阵A的特征值

第五章 相似矩阵与二次型 一、方阵的特征值与特征向量的概念 说明：

第五章相似矩阵与二次型 由定义5.2.1得A-1E=0 an-I 12 L 01 22-l L 020 =0 L L L L L 称以l为未知数的一元n次方程A-IE=0 为方阵A的特征方程， 记f(I)=A-1E,它是1的n次多项式， 称其为方阵A的特征多项式

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型 3.设n阶方阵A=(a)的特征值为l1,l2,L, l,则有 (1)I1+12+L+ln=a11+a22+L+am; (2)11l2L1n=A. 通常称a,+a2+L+am为矩阵A的迹，记作Tr(A),即 Tr(A)=au+az+L+an

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型 13日的特征值和特征向立 é3-1ù 例1求方阵A= 解：A的特征多项式为 41-3{=4-12) DA的特征值为l,=2,1,=4 下边求特征向量（解(A-2E)X=O) 对11=2， 3-2-1ùex1ù M-2Dx=是-13-28

第五章 相似矩阵与二次型 解：A的特征多项式为

第五章相似矩阵与二次型 é1-1ùex,ù e1-1ùex1ù 11，日 úe1 即e 0( e.ú=0 x, 基础解系：p,=(1,1) 1p1=(1,1)妫属于特征值2的一个特征向量， 其全部特征向量为kp（k10方 同理可求属于1，=4的一个特征向量为p2=(-1,1)g 其全部特征向量为kp2(k10)

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第五章相似矩阵与二次型 求特征值与特征向量的步骤： 1.解A-1E=求出的值即求特值 2.对每一个1，求方程组 (A-1E)x=0 的基础解系， 即得到属于这个特的线性无关的特向量 n-R(A-E)个

第五章 相似矩阵与二次型 求特征值与特征向量的步骤： n –R(A–λE)个

第五章相似矩阵与二次型 e-11 0ù 例2 求矩阵1-尽4 3 0的特征值和特征向量。 €10 21 解 的特征多项式为 -1-1 0 A-1E= -4 3-l 0 =(2-1)1-1)2, 1 0 2-1 所以A的特征值为11=2，l2=13=1

第五章 相似矩阵与二次型 解

第五章相似矩阵与二次型 当11=2时，解方程(A-2E)x=0由 e-310ù e1 00ù A-2E= 4 1 ® 1 ú的 1 0 0 0 0 0ǘ é0ù 得基础解系P1= 1ǘ 所以仰，(k10)是对应于1，=2的全部特征值

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型 当12=13=1时，解方程(A-E)x=0由 é-21 0ù el 01ù A-E= e,4 2 0 ® 1 1 0 1日 0 0 0 1ù 得基础解系 P2 = e 2 ei a 所以仰，(k10)是对应于1，=1，=的全部特征值

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