《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3 相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型 S5.3 相似矩阵 产一、方阵的相似 P二、方阵可对角化的条件 P三、小结

第五章 相似矩阵与二次型 §5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、方阵可对角化的条件 三、小结

第五章相似矩阵与二次型 一、相似矩阵与相似变换的概念 定义5.3.1设A,B都是阶矩阵，若有可逆矩阵P,使 PAP=B, 则称B是的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 一、相似矩阵与相似变换的概念

第五章相似矩阵与二次型 相似矩阵与相似变换的性质 1.等价关系 (1)自反性A与A本身相似； (2)对称性A与B相似，侧B与A相似； 3)传递性A与B相似，B与C相似，则A与C相似. 2.P(A4)P=(PAP)(PAP). 3.若A与B相似，则A"m与Bm相似(m为正整数) 4.P(k A+k4)P=k PA P+kPAP 其中k1,k,是任意常数

第五章 相似矩阵与二次型 1. 等价关系 相似矩阵与相似变换的性质 (1)自反性 A与A本身相似； (2)对称性 A与B相似，则B与A相似； (3)传递性 A与B相似，B与C相似，则A与C相似

第五章相似矩阵与二次型 定理5.3.1若阶矩阵A与B相似，则A与的特征多项 式相同，从而A与的特征值亦相同. 证明A与B相似D$可逆阵P,使得P1AP=B B-IE=P AP-PIE)P =P1(A-1E)P =PA-IEP =A-IE

第五章 相似矩阵与二次型 证明

第五章相似矩阵与二次型 推论1若阶方阵与对角阵 el ù e L= 12 i ú e ú e e 相似，则l,l,L,l即是的n个特征值. 推论2若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B). 一般地，方阵A与对角阵相似，我们就称方阵A可对 角化

第五章 相似矩阵与二次型 推论2 若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B). 一般地，方阵A与对角阵相似，我们就称方阵A可对 角化

第五章相似矩阵与二次型 二、方阵可对角化的条件 定理5.3.2阶方阵A可对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵P,使PAP=L为对角阵， 把P用其列向量表示为P=1,P2L,p 由P1AP=L,得AP=PL, ù ǘ 即AP,P,L,pirp,L,. 12 近 0 ú e 8 1 =1p1,l2P2,L,lnpnǜ

第五章 相似矩阵与二次型 证明 二、方阵可对角化的条件

第五章相似矩阵与二次型 Ap,P2,L,pAp,Ap2,L,Ap =l1p1,12P2L,lnpn日 于是有Ap,=1;P(i=1,2,L,). 可见1是A的特征值，而P的列向量p,就是 A的对应于特征值！的特征向量。 又由于P可逆，所以P1,p2,L,pn线性无关. 反之，由于A恰好有个线性无关的特征向量， 这个特征向量即可构成可逆矩阵P,使PAP=L

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型 说明如果4的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量， A还是能对角化. 推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等， 则A与对角阵相似. 注意：矩阵A有个不互不相等的特征值 只是A可对角化的充分条件，而非必要条件

第五章 相似矩阵与二次型 推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等， 则A与对角阵相似． 说明 如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化． 注意：矩阵A有n个不互不相等的特征值 只是A可对角化的充分条件，而非必要条件

第五章相似矩阵与二次型 例1判断下列方阵能否对角化 e-11 0ù é-211ù é3-1ù e e (2)4 3 0 (3) 2 0 138 1 0 21 食4 13 解 (1)由§2例1知，A有两个线性无关的特征向量 (或A有两个不同特征值)，因而A可以对角化，且存 在可逆阵P é2 ù 11ù PAP= 048 其中P=盒-8

第五章 相似矩阵与二次型 解 (1)由§2例1知，A有两个线性无关的特征向量 (或A有两个不同特征值)，因而A可以对角化，且存 在可逆阵P

第五章相似矩阵与二次型 (2)由§2例2知，A只有两个线性无关的特征向量，因而 A不能对角化. (3)由S2例3和定理2知，A有三个线性无关的特征向量， 因而A可以对角化，且存在可逆阵P,使得 e-1 el 01ù e 2 其中p= 1 0增 ě 21 1-1 4日

第五章 相似矩阵与二次型 (2)由§2例2知，A只有两个线性无关的特征向量，因而 A不能对角化 . (3)由§2例3和定理2知，A有三个线性无关的特征向量， 因而A可以对角化，且存在可逆阵P,使得