《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 2-1 消元法与矩阵的初等变换

第二章矩阵与向量 Ch2 矩阵与向量 ●S2.1消元法与矩阵的初等变换 ●§2.2向量及其线性运算 ·§2.3向量组的线性相关性 ●§2.4矩阵的秩

第二章 矩阵与向量 Ch2 矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.4矩阵的秩 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性

第二章矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、小结思考题

第二章 矩阵与向量 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、小结 思考题 §2.1 消元法与矩阵的初等变换

第二章矩阵与向量 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念，并提出求秩的有效方 法.再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法。内容丰 富，难度较大

第二章 矩阵与向量 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法．内容丰 富，难度较大

第二章矩阵与向量 一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程. 引例求解线性方程组 2x1-x2+2x3=4 x1+x2+2x3=1 (1) 4x1+x2+4x3=2

第二章 矩阵与向量 引例 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 4 2 1 (1) 4 4 2 x x x x x x x x x  − + =   + + =  + + = 

第二章矩阵与向量 解： X1+X2+2x3=1 ①←→② 1) 2x1-x2+2x3=4 (2) 4x1+x2+4x3=2 x1+x2+2x3=1 -2①+2 -3x2-2x3=2 (3) -4①+3 +3x2-4x3=-2

第二章 矩阵与向量 解： (1) 1  2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 4 (2) 4 4 2 x x x x x x x x x  + + =   − + =  + + =  -2 1 + 2 -4 1 + 3 1 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 2 (3) 3 4 2 x x x x x x x  + + =   − − =  + − = − 

第二章矩阵与向量 x1+x2+2x3=1 -2+③ -3x2-2x3=2 (4) -2x3=-4 x1+x2 =-3 -③+2 -3X2 =2 (5) 3+① -2x3=-4

第二章 矩阵与向量 - 2 + 3 1 2 3 2 3 3 2 1 3 2 2 (4) 2 4 x x x x x x  + + =   − − =  − = −  - 3 + 2 3 + 1 1 2 2 3 3 3 2 (5) 2 4 x x x x  + = −   − =  − = − 

第二章矩阵与向量 3+① 1=-1 1 北2=-2 2 1 23 x4=2 我们把以上三种变换叫做方程组的初等变换 于是，加减消元法解线性方程组就是用初等变换来 化简方程组

第二章 矩阵与向量 3 1 3 2 1 + 3 1 3 − 1 2 − 1 2 4 1 2 2 x x x  = −   = −   = 我们把以上三种变换叫做方程组的初等变换. 于是，加减消元法解线性方程组就是用初等变换来 化简方程组

第二章矩阵与向量 小结： 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下 三种变换 (1)交换方程次序； (①与①相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程； (以①×k替换①) (3)一个方程加上另一个方程的k倍. (以⑦+k①替换①)

第二章 矩阵与向量 小结： 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下 三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i  k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ）

第二章矩阵与向量 2.上述三种变换都是可逆的。 若(A)①0 (B,则(B)①90(4A; 若(A①×K(B,则(B)①÷k(A)店 若A①+k0(B,则(B)-KD(A). 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种 变换是同解变换

第二章 矩阵与向量 2．上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． i j 若(A) (B),  则(B) (A); i  j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i  k 则(B) (A); i  k 则(B) (A). i − k j

第二章矩阵与向量 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算，未知量并未参与运算. 定义2.1.1由m×n个数a(i=1,2,.,mj=1,2,n) 排成的m行n列的数表 11 12 A= l21 2 。 0m2 mn 称为mXn矩阵.简称m×n阵

第二章 矩阵与向量 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 由 m n 个数 m n a (i m j n) ij = 1,2,  , ; = 1,2,  , 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       称为 mn 矩阵.简称 m  n 阵. 定义2.1.1 排成的 行 列的数表