《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-5 二次型及其标准形

第五章相似矩阵与二次型 s5.5 二次型及其标准形 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 四、二次型的秩 五、小结思考题

第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 五、小结 思考题 一、二次型的概念 四、二次型的秩

第五章相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 ax"+2bxy cy2 d (5-9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选料 适当的角度0，做旋转变换 i x=xccosq yesing, iy=xesing yecosq

第五章 相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度θ，做旋转变换￾￾

第五章相似矩阵与二次型 把方程(5-9)化成标准方程 axxe +cge d (5-10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项我们把该问题推广到一般情况，从而建 立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一其中心问题是 讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化 成平方和的形式

第五章 相似矩阵与二次型 把方程(5-9)化成标准方程 (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项.我们把该问题推广到一般情况，从而建 立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一.其中心问题是 讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化 成平方和的形式

第五章相似矩阵与二次型 一、二次型的概念 定义5.5.1含有n个变量x1,x2,L,x的二次齐次多项式 f(x,x2L,x)=axi+2axx2+L +2axx +azzx+L+2aznx2x+L+amx2 (5-11) 称为二次型 当a#是复数时，f称为复二次型； 当a是实数时，f称为实二次型

第五章 相似矩阵与二次型 一、二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 例如+x七2+3x3+2x2+4x2水3+3x ixx2+5x3+(3+i)x2x3+V2x14 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型 设由1,2,4，yn到变量x1,x2,4,x的线性变换为 ix=cuy+c12y2+7+cinyn> 1x2=C21y1+C22y2+4+C2nyn, (5-12) 444444 xn=Cmy+Cn2y2++Cmyn

第五章 相似矩阵与二次型 例如 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型

第五章相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式：X=CY ex,ù ey1ù e.ú e u 其中 Y=6 2i Y= è'2i h4ú' e4ú1 C=(ci)m'n eú eú ex ěyni 可见，线性变换把二次型变为二次型

第五章 相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式: 可见，线性变换把二次型变为二次型

第五章相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 取an=a防，则2ax,x,=agxx,+anx,x,(i<j) 于是f=a1x+a12x,x2+L+41m七xm +421x2七1+422x+L+a2mx2Xn +Laanamx =x(a11x1+412X2+L+41mxn) +x2(a21x1+u2X2+L+42nKn) +L+xn(anix1+an2x2+L+annxn)

第五章 相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 于是

第五章相似矩阵与二次型 u11x1+a12x2+L+a1nxnù =x,xl,x,]+a,+L+a,日 e 。 e M ú e ú mx,+an22+L+amnn L11 a2L41niex1ù e úe.i 022 L =x1,x2L,Xn] a2múe2ú L L LúeMi e úei 0nl an2 L arnxn

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型 12 L ex1ù e L ú eú 记 L22 A= 2nú Y= è2i eL L L Lú e Mu' e u eú an2 L ěrni 则二次型可记作f=X丝X,其中A称为二次型的矩阵. 显然，A是对称矩阵.二次型与对称矩阵是一一对应： 例如，二次型f=x-3.x-4x,水，+c的矩阵为 é100ù A= -3 0 -2 1

第五章 相似矩阵与二次型 显然，A是对称矩阵. 二次型与对称矩阵是一一对应

第五章相似矩阵与二次型 我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型， 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系。 设二次型f=XX,作可逆线性变换X=CY f=X=(CY)A(CY) =YCAC)Y=YBY 其中B=C4C QBe=(CAC)-C(C-B 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型， 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系. 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵