《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 向量与矩阵 §2.4 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 矩阵的行（列秩、秩 矩阵秩与向量组的极大 无关组、秩的求法 三、矩阵秩的第二定义 四、小结

第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩、秩 二、 矩阵秩与向量组的极大 无关组、秩的求法 三、矩阵秩的第二定义 四、小结

第二章矩阵与向量 一、矩阵的行（列秩、秩 1.定义2.4.1设mXn矩阵A,称A的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 101 例1求矩阵A= 01 2的行秩和列秩 214 解：A的行向量α1=(1,0,1)，2=(0,1,2)，c3=(2,1,4) 101 由行列式012=0，知向量组a1,a2,线性相关， 214

第二章 矩阵与向量 1.定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的行(列)秩、秩 1 0 1 1 0 1 2 . 2 1 4 A     =       例 求矩阵 的行秩和列秩 1 2 3 A的行向量   = = = (1,0,1), (0,1,2), (2,1,4) 1 2 3 1 0 1 0 1 2 0 , , 2 1 4 由行列式 = ，知向量组   线性相关， 解：

第二章矩阵与向量 又，线性无关，故，a,是4的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵A的行秩等于2. 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1131 例2求矩阵A= 02-14的行秩和列秩 0005 解：A的行向量a=(1,1,3,1),2=(0,2,-1,4), a3=(0,0,0,5). 去掉第三个分量的a=(1,1,1),2=(0,2,4), 3=(0,0,5)

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 , , 2. A A 又    线性无关，故 是 的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵 的行秩等于 1 2 3 (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). A    = = − = 的行向量 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1 1 3 1 2 0 2 1 4 . 0 0 0 5 A     = −       例 求矩阵 的行秩和列秩 解： 1 2 3 (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5).      = =  = 去掉第三个分量的

第二章矩阵与向量 111 由行列式024=10≠0， 知向量组a,a,a线性无关 005 由§2.3例5知，向量组a1,2,也线性无关， 所以A的行秩为3. 「1 A的列向量组B,= 4 4个三维向量必线性相关，而其中B1B2B,线性无关

第二章 矩阵与向量 1 2 3 111 0 2 4 10 0 , , 005 由行列式 =  ，知向量组     线性无关. § 1 2 3 2.3 5 , , A 3. 由 例 知，向量组   也线性无关， 所以 的行秩为 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A                     = = = − =                         的列向量组 4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β4线性无关

第二章矩阵与向量 因为 1 0 0 1 2 0=10≠0 145 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的， 为了证明这一点，我们有以下两个定理 2矩阵的初等行列变换矩阵的行列秩的影响。 定理2.4.1初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩， 证明：此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成

第二章 矩阵与向量 1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5 =  因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 证明： 此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成. 2.矩阵的初等行列变换对矩阵的行(列)秩的影响

第二章矩阵与向量 设m×n矩阵A的行向量组cg,a2,.,am且 01 a a a;+kaj i+krj A= =B j

第二章 矩阵与向量 1 2 , , 设m n A  矩阵 的行向量组   ， m ，且 1 1 ~ i j i j i r kr j j m m k A B          +                   +     = =                            

第二章矩阵与向量 由 C1=0C1 0.0。● a;=(a;+kaj)-kaj 。●。0。● dm=am 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 同样的方式可证明对阵做一次第二第三种类 型的初等行变换，可到矩阵的行秩也相等

第二章 矩阵与向量 1 1 ( ) i i j j m m k k         = = + − = 由 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 型的初等行变换，可得到矩阵的行秩也相等。 同样的方式可证明对矩阵做一次第二第三种类

第二章矩阵与向量 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量 间的线性关系， x1C1+x2C2+.+Xnan=0 41X1+12X2+.+01mXn=0 021比1+22X2+.+2mn=0 mlX1+am2X2+.+amn=0

第二章 矩阵与向量 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量 间的线性关系.        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     x1 1 + x2 2 ++ xn n = 0

第二章矩阵与向量 KB1+x2B2+.+xnBn=0 021x1+022X2+.+42mXn=0 01X1+12X2+.+41mXn=0 mlX1+am2x2+.+0mXn=0 即有 101+x20a2+.+xnCn=0 当且仅当XB1+x2B2++xnBn=0 同样的对另外两种行换得到类似的结论

第二章 矩阵与向量 x1 1 + x2  2 ++ xn  n = 0        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     即有 x1 1 + x2 2 ++ xn n = 0 当且仅当 x1 1 + x2  2 ++ xn  n = 0 同样的对另外两种行变换得到类似的结论

第二章矩阵与向量 1 30 例3设矩阵A= 0 2 -15 其列向量 60 24 1,%2,0%3,间有线性关系：a4=1+22-a3, 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到 验证B的列向量B,B2,B,B,间也有线性关系 B4=B+2B2-B

第二章 矩阵与向量 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 0 3 0 2 1 5 6 0 2 4 , , , 2 . , 2 A B A B                     = −       = + − = + − 例 设矩阵 其列向量 间有线性关系： ， 矩阵 由矩阵 经过有限次初等行变换得到 验证 的列向量 间也有线性关系