《数学分析》课程教学资源（习题讲解）9不定积分

作者：月浩2011年9月 微积分B(1)第九次习题课题目参考答案 (第12周) 一、不定积分 1.求不定积分 (1)fed (2)∫max{x2,x2,1 解（原函数的概念，分段函数的原函数） aDe州k=人e+G,x20其中-1+G=1+C2,即G=2+C2 e*+C2.x<0, C.x<ck (2)jmx3,2,=x+G,-1sx≤其中C=C-子C=C2+ 月4G 解（不定积分概念） 因为「xfx)dk=arctanx+C,所以xf(x)=[arctanx+C] 1+2,因此 -0*s-0+c 3.已知f'(2+cosx)=tan2x+sin2x,求f(x)的表达式。 解（原函数的概念，复合函数的导数，凑微分法） 因为f"(2+cosx)=an2x+sim2x,所以 (f(2+cosx))'=f(2+cosx)(-sinx) =an2x+2x-血)=（cos5n功 因此f(2+cosx)=j 1 11 -cos2 x)(-sin x)dx=- cos2x 05+C 故f=2-+写2-+C Page 1 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 1 of 15 微积分 B(1)第九次习题课题目参考答案 （第 12 周） 一、不定积分 1．求不定积分 （1） e dx x ò - ； （2） x x dx ò max{ , ,1} 3 2 ； 解 （原函数的概念，分段函数的原函数） （1） ïî ï í ì + + - £ £ + < - ò = , 1, 4 1 , 1 1; , 1; 3 1 max{ , ,1} 3 4 2 1 3 3 2 x C x x C x x C x x x dx 其中 4 3 , 3 2 C1 = C2 - C3 = C2 + ． 2． 设 xf x dx = x + C ò ( ) arctan ，求 ò dx f (x) 1 ． 解 （不定积分概念） 因为 xf x dx = x + C ò ( ) arctan ，所以 2 1 1 ( ) [arctan ] x xf x x C + = + ¢ = ，因此 dx x x dx x x C f x ò = ò + = + ) + 2 1 (1 2 1 (1 ) ( ) 1 2 2 2 ． 3．已知 f x x x 2 2 ¢(2 + cos ) = tan + sin ，求 f (x)的表达式． 解 （原函数的概念，复合函数的导数，凑微分法） 因为 f x x x 2 2 ¢(2 + cos ) = tan + sin ，所以 cos )( sin )， cos 1 (tan sin )( sin ) ( ( (2 cos )) (2 cos )( sin ) 2 2 2 2 x x x x x x f x f x x = + - = - - + ¢ = ¢ + - 因此 x C x x x dx x f + x = ò - - = - - + 2 3 2 cos 3 1 cos 1 cos )( sin ) cos 1 (2 cos ) ( ， 故 x C x f x + - + - = 3 (2 ) 3 1 2 1 ( ) ．

作者：目浩201年9月 另解令1=2+c0sx,根据f2+c0sx)=tan2x+sm2x得 f0=a-2-u-2y 积分得/0=+0-+C,放=2-P+C. 4函数f)=厂rrs0 2>0在-+四上有设有原西数 解（原函数的概念，导函数的介值性质） =mrrs0 x>0在(-D,+0)上没有原函数，因为f)在(-0，+切)上不满足介值 性质，所以它不可能是某个函数的导函数 男看接P四-me国国，则多有四-G8包想知 F(0)=0,F(0)不存在，这与F'(O)=fO)=0矛盾 5.求下列不定积分 解(1)（凑微分法） 世周-c 注本题也可用分部积分法求解。 (2)(凑微分法) sin xcosx (a2-b2)sin2x+b2 dsin2x 02-62 +C,a2≠62 2羽5n2x+C a2=62 (3)(凑微分法) 偶-得 f() f'(x)2 周 Page 2 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 2 of 15 另解 令t = 2 + cos x ，根据 f x x x 2 2 ¢(2 + cos ) = tan + sin 得 2 2 ( 2) ( 2) 1 ( ) - - - ¢ = t t f t ， 积分得 t C t f t + - + - = 3 (2 ) 3 1 2 1 ( ) ，故 x C x f x + - + - = 3 (2 ) 3 1 2 1 ( ) ． 4．函数 ïî ï í ì > - £ = 0 2 1 sin 0 ( ) x x x x f x 在(-¥,+¥) 上有没有原函数？ 解 （原函数的概念，导函数的介值性质） ïî ï í ì > - £ = 0 2 1 sin 0 ( ) x x x x f x 在(-¥,+¥) 上没有原函数，因为 f (x) 在(-¥,+¥) 上不满足介值 性质，所以它不可能是某个函数的导函数． 另 解 若设 F¢(x) = f (x), x Î (-¥,+¥) ，则必有 î í ì + + > + £ = 1 , 0, cos , 0, ( ) x C x x C x F x 但易知 ¢(0) = 0 F- ， (0) + F¢ 不存在，这与 F¢(0) = f (0) = 0 矛盾． 5．求下列不定积分 解 （1）（凑微分法） C x x x x d x x dx x x x ÷ + ø ö ç è æ - + ò ÷ = ø ö ç è æ - + - + = - + ò - 2 2 1 1 ln 4 1 1 1 ln 1 1 ln 2 1 1 1 ln 1 1 ； 注 本题也可用分部积分法求解． （2）（凑微分法） dx a x b x x x ò + 2 2 2 2 sin cos sin cos ï ï î ï ï í ì + = + ¹ - - + ò = - + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin , 2 1 , ; ( )sin ( )sin sin 2 1 x C a b b C a b a b a b x b a b x b d x ； （3）（凑微分法） C； f x f x f x f x d f x f x dx f x f x f x f x f x f x dx f x f x f x f x f x + ú û ù ê ë é ¢ =÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ ¢ = ¢ ¢ - ¢¢ ¢ = ¢ ¢¢ - ¢ ò ò ò 2 2 2 3 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) [

作者：月浩2011年9月 另解（分部积分法 因为 偏-得得高 f'x)f(x 偏·淄沿 隈 a得9a f'(x)f"(x (4)(凑微分法) n可应e血c (5)(凑微分法) Jx-a-ax-可 '(x-a)(x-a)(x-a+a-b) - x-a 4-+C 1 a=b (6)(第二换元积分法) 1a 100 =*+n+品-+C 1 2 (7)(拆项、凑微分法) 1+cosx +alo对C 2 牛本=A+识-j6e+ew-0碳o-wh 1-cos-x Page 3 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 3 of 15 另解 （分部积分法） 因为 dx f x f x f x f x f x f x f x dx f x f x f x f x f x f x f x f x dx f x f x f x d f x f x dx f x f x dx f x f x f x f x f x ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) [ ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 3 2 2 3 2 2 2 3 2 ¢ ¢¢ - ¢ - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ = ¢ ¢¢ - ¢ - ¢ ¢ + ¢ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ ¢ + ¢ = ¢ ¢¢ - ¢ ò ò ò ò ò ò 所以 C； f x f x dx f x f x f x f x f x + ú û ù ê ë é ¢ = ¢ ¢¢ - ¢ ò 2 3 2 ( ) ( ) 2 1 ] ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) [ （4）（凑微分法） e dx e C x x x x = + + + - + - ò 2 2 1 1 1 1 2 3 (1 ) ； （5）（凑微分法） ò (x - a) (x - a)(x - b) dx ； ï ï î ï ï í ì + = - + ¹ - - + - ò = - - + ÷ ø ö ç è æ - = - ò - - - + - = C a b a x C a b x a a b b a x a a b x a d x a x a x a a b dx , 1 1 , ; 2 1 1 ( ) ( )( ) （6）（第二换元积分法） ò - ò = + + = dt t t dx x x x t 100 1 4 100 4 ( 1) ( 1) C t t t t t dt t t t t t = - + - + - + = ò - + - + 95 96 97 98 99 96 97 98 99 100 99 1 49 2 97 6 24 1 95 1 ) 1 4 6 4 1 ( （7）（拆项、凑微分法） x C x dx x x dx x dx x x = - + + + = + + + ò ò ò ln(1 cos ) 2 tan 1 cos sin 2 2cos 1 1 cos 1 sin 2 ． 或 ( ) ò ò ò = + - - - + - = + + dx x x x x x dx x x x dx x x csc csc csc cot cot 1 cos (1 sin )(1 cos ) 1 cos 1 sin 2 2

作者：目浩201年9月 (8)(拆项、凑微分法) 温4 5cosx+2sinx =x+In5cosx+2sin x+C 主∫g本=1++B血 Acosx+Bsinx (9)(有理化、凑微分法) =i-a =j[I+x)WF-x√1+x]k -x+2+2+-2+x+c (10)(第二换元积分法、凑微分法) 3 V2 tant -2r3-5n2r+54c. V2x (11)(第二换元积分法、凑微分法) 0+rW,s”ieos动 =?(eost+sa)+C=+x北n h+x2+C。 (12)(第二换元积分法) r c. x-2x- 德袋分法侣4 Page 4 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 4 of 15 （8）（拆项、凑微分法） dx x x x x ò + - 5cos 2sin 7cos 3sin x x x C dx x x x x x x = + + + ò + + + - + = ln 5cos 2sin 5cos 2sin 5cos 2sin ( 5sin 2cos ) 注 dx A x B x C A x B x D A x B x dx A x B x a x b x ò ò + - + + + = + + cos sin ( sin cos ) ( cos sin ) cos sin cos sin ． （9）（有理化、凑微分法） = ò + - + ò = ò + - + + + + x x x x dx dx x x x x dx x x x x [(1 ) 1 ] [ 1 ] (1 ) 1 (1 ) = x x + x x + + x + x - (1+ x) 1+ x +C 5 2 (1 ) 1 3 2 5 2 3 2 2 2 （10）（第二换元积分法、凑微分法） 3 tan 2 2 2 2 2 2 2 3 sec 2 3 2 3 1 2 sec 3 3 2 sin cos tan 2 sin 1 3 [ ] 3[sec ln | csc cot | cos sin 2 3 3 2 3 3 ln 2 x t t x dx tdt dt x t t t t dt t t t C t t x x C x = + = = = + = - - + + + = + - + ò ò ò ò 。 （11）（第二换元积分法、凑微分法） C 。 x x e t t C e dx e tdt x x e t x t x x t + + + = + + = ò = ò + + = 2 arctan arctan 2 2 arctan 1 (1 ) (cos sin ) 2 cos (1 ) 1 （12）（第二换元积分法） x x x C x dx x x dx ò = - + - + + - - ò = - - 5 6) 2 5 ln( 4 1 ) 2 5 ( ( 2)( 3) 2 2 ． （13）（凑微分法）ò + - dx x x x x 1 sin cos cos sin

作者：月浩2011年9月 cosx-sin x dx -小， -, =2arctan(cosx+sin x)+C (楼微分法)中o sinx+cosx , - 5)(缘合逼：凑微分法，第二执元积分法，解方程22产 sinx 因为 jos-snk=fd(sinx+cos） =In(sin x+cosx+2+sin 2x)+C, 2+sin 2x 1+(sin x+cosx)2 (sin x-cos x) 2+sin 2x 3-(sinx-cosx)2 =arcsin(Sinx-c sx)+C. √3 所以 esin ino)-lndGin.ominc. sinx (16)(凑微分法.注意分情况讨论) 当a≠0时， Page 5 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 5 of 15 ò + - dx x x x x 1 sin cos cos sin ò + + - = dx x x x x sin cos 2 1 2 1 cos sin ò + + - = dx x x x x 2 1 (cos sin ) 2(cos sin ) ò + + + = 2 1 (cos sin ) (cos sin ) 2 x x d x x = 2arctan(cos x + sin x) +C （14）（凑微分法）ò + + dx x x x x 1 sin cos sin cos ò + + dx x x x x 1 sin cos cos sin ò - + + = dx x x x x sin cos 2 1 2 3 cos sin ò - - + = dx x x x x 2 3 (sin cos ) 2(cos sin ) C 。 x x x x x x d x x + - + + - = ò - - - = 3 sin cos 3 sin cos ln 3 1 3 (sin cos ) (sin cos ) 2 2 （15）（综合题：凑微分法、第二换元积分法、解方程） dx x x ò 2 + sin 2 sin 因为 x x x C x x d x x dx x x x ò = + + + + + + + ò = + - ln(sin cos 2 sin 2 ) 1 (sin cos ) (sin cos ) 2 sin 2 cos sin 2 ， 2 cos sin (sin cos ) sin cos arcsin( ) 2 sin 2 3 3 (sin cos ) x x d x x x x dx C x x x + - - = = + + - - ò ò ， 所以 dx x x ò 2 + sin 2 sin 1 sin cos arcsin( ) ln(sin cos 2 sin 2 ) 2 3 x x x x x C é ù - = - + + + + ê ú ë û ． （16）（凑微分法．注意分情况讨论） 当 a ¹ 0 时

作者：目浩201年9月 tanx 「am2r+b2cos2xh an )C. tanx 当a=0时 tanx 1 a)债微分决生 1-小 (令xe=1) Jra-m 0楼)小 -小 小六名eic d9)法微分法岛 ) COSX -fintanxd(In tan x)(ntanx)+C (四（第换无表分法三指快元、创数装无）产 法1令x=tanl,dk=sec2d Page 6 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 6 of 15 b a x C 。 a d x b a x x dx a x b x x ò = + + + = ò + ln( tan ) 2 1 tan tan tan sin cos tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 当 a = 0 时， x C b dx x x b dx a x b x x ò = ò = + + 2 2 2 2 2 2 3 2 sec 2 1 cos 1 sin sin cos tan ． （17） （凑微分法） dx x xe x ò x + + (1 ) 1 dx x xe x ò x + + (1 ) 1 = dx xe xe x e x x x ò + + (1 ) （1 ） ( ) (1 ) x x x d xe xe xe = + ò （令 xe t x = ） C t t dt t t t t t t dt t t dt + + = + = - + + - = + = ò ò ò 1 ) ln 1 1 1 ( (1 ) (1 ) (1 ) C xe xe x x + + = 1 ln （18） （有理化、凑微分法） dx e e x x ò + - 1 1 dx e e x x ò + - 1 1 dx e dx e e dx e e x x x x x ò ò ò - - - = - - = 1 1 1 1 1 2 2 2 e e e C e de e de x x x x x x x = + - + + - + - = - - - ò ò ln( 1) arcsin 1 1 2 2 2 （19）（凑微分法） dx x x ò sin 2 ln tan (tan ) tan ln tan 2 1 cos cos sin 2 ln tan sin 2 ln tan 2 d x x x dx x x x x dx x x ò ò ò = = = xd x = x + C ò 2 (ln tan ) 4 1 ln tan (ln tan ) 2 1 （20）（第二换元积分法：三角换元、倒数换元）ò + 4 2 x 1 x dx 法 1 令 x t dx tdt 2 = tan , = sec

作者：月浩2011年9月 流器 =∫l-2'dsm) sint + 法2令x=则=-子山 产小德牌 d (令u=) raa-小剑 =-+r)+0+r+c -+D++E+C 3x3 6.求yf"(x)dk,其中f(x)的一个原函数是(1+sinx)hx 解（原函数的概念，分部积分公式） 因为f)=0+snn=cosxn+I+smx,所以 fxf'(x)dx=xf(x)-ff(x)dx =xcosxInx+1+sinx-(1+sinx)Inx+C 7.设f"(e)=asinx+bcosx(a,b是不同时为零的常数)，求f(x). 解（原函数的概念，复合函数的导数，分部积分公式） 因为f"'(e)=asinx+bcosx,所以 f(e")=f"(e')e'=ae'sinx+be'cosx 由于le'sin xds=esnx-cos)+C.fosxdk=2e(eosx+sm)+C, 从而f八e)=2e'【a+b)smx+b-a)cos刘+C,故 Page 7 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 7 of 15 C x x x x C t t d t t t dt t t x x dx + + + + = - = - + + - = = + ò ò ò 2 3 2 3 3 4 2 4 3 4 2 (1 ) 1 3 1 sin 1 sin 1 3 1 (sin ) sin 1 sin sin cos 1 法 2 令 , 1 t x = 则 dt t dx 2 1 = - ò ò + = - + 2 3 4 2 1 1 t t dt x x dx ò = + = - ( ) 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 u t t t d t 令 ú û ù ê ë é + = - + - + + - = - + = - ò ò ò ò du u udu du u u u u du 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 C x x x x t t C + + + + = - = - + + + + 2 3 2 3 2 1 2 2 3 2 1 3 (1 ) (1 ) (1 ) 3 1 6．求ò xf ¢(x)dx ，其中 f (x)的一个原函数是(1+ sin x)ln x． 解（原函数的概念，分部积分公式） 因为 f (x) x x x x x x 1 sin [(1 sin )ln ] cos ln + = + ¢ = + ，所以 ò xf ¢(x)dx = xf (x) - ò f (x)dx = x cos x ln x +1+ sin x - (1+ sin x)ln x + C ． 7．设 f (e ) asin x bcos x (a,b是不同时为零的常数）, x ¢ = + ，求 f (x) ． 解（原函数的概念，复合函数的导数，分部积分公式） 因为 f e a x b x x ¢( ) = sin + cos ， 所以 [f e ] f e e ae x be x x x x x x ( ) = ¢( ) = sin + cos ¢ ． 由于 ò e xdx = e x - x + C ò e xdx = e x + x + C x x x x (cos sin ) 2 1 (sin cos ) , cos 2 1 sin ， 从而 f e e a b x b a x C x x = [( + )sin + ( - ) cos ] + 2 1 ( ) ，故 2 1+ x t x 1

作者：月浩2011年9月 f(x)=a+b)sin(ln x)+(6-a)cos(lnx)+C. 注也可令1=e'得到f"()=asin(ln)+bcos(n),再积分得 f(x)=(a+b)sin(In x)+(b-a)cos(Inx)]+C. 8.求下列不定积分 (1)(第二换元积分法，分部积分法) 子a”ec-e0w学 而由 Jcsc4dt =-coticsc21-2jcsc2 Icot2 idt =-coticsc21-2jcsc Idt+2jcsc2 tdt =-cotI(2+csc21)-2jcsc4 ndt 得 fdco)C. 所以 平=ch+ acnsc c fcsedi=-(1+cot2xd(cotx)=-(cotx+co)+C. 另解 C)C. 再解 j于-小示女i-wc子0-学e x Page 8 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 8 of 15 f x = x[(a + b)sin(ln x) + (b - a) cos(ln x)] + C 2 1 ( ) ． 注 也可令 x t = e 得到 f ¢(t) = a sin(ln t) + b cos(ln t) ，再积分得 f x = x[(a + b)sin(ln x) + (b - a) cos(ln x)] + C 2 1 ( ) ． 8．求下列不定积分 （1）（第二换元积分法，分部积分法） ò = ò - = ò + - = 2 4 2 4 2 2 sin 4 2 2 cot csc 1 (csc csc ) 1 a t tdt a t t dt a dx x a x x a t ， 而由 = - + - ò = - - ò + ò = - - ò ò t t tdt t t tdt tdt t t t tdt tdt 2 4 2 4 2 2 2 2 4 cot (2 csc ) 2 csc cot csc 2 csc 2 csc cot csc 2 csc cot csc 得 ò tdt = - cott (2 + csc t) + C 3 1 csc 4 2 ， 所以 C ； x a a x a x t C a t a t a t tdt a dx x a x - + - = = - + + = + - ò ò (1 ) 3 (2 csc ) 3 cot cot cot csc 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 注 ò tdt = -ò + x d x = - x + cot x) + C 3 1 csc (1 cot ) (cot ) (cot 4 2 3 ． 另解 C。 x a a x a x t C a td t a t tdt a dx x a x x a t - + - = - + = = - - ò = ò ò = (1 ) 3 cot 3 1 cot (cot ) 1 cot csc 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 sin 4 2 2 再解 C。 x a a x a x a t a t C a dx t a t dt x a x t x - + - - - = - - - + = - ò = ò = (1 ) 3 ( 1) 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 2

作者：月浩2011年9月 (2)(分部积分法) sein no 2 x(sim x-cocosxC 2 2 @)(分积分法)设am品产恤。 令=m'x,则x=aresin,f)=aresi正 x j总a-女可om网 1-x =-2/1-x arcsin++C Q设F)是/)的一个原函数，且当x之0时，有了)F()=2如明 F(O)=1,F(x)>0,求F(x). 解（原函数概念、凑微分、分部积分） F)=FF)=Ew》ry=rC (x+2 1 f+2+∫ea +2+e-e+c=-2。 *2e+c 所以 由题目条件，c=3 2x-2e+3 F)-x+2 Page 9 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 9 of 15 （2）（分部积分法） e x C 。 e x x x e x x dx e x x xe xdx x x x x x x + + - = - ò - - ò = cos 2 1 2 (sin cos ) (sin cos ) 2 1 2 (sin cos ) sin （3）（分部积分法） 设 x x f x sin (sin ) 2 = ，求 f x dx x x ( ) 1 ò - ． 令u x 2 = sin ，则 x x x u f x arcsin = arcsin , ( ) = ， 于是， f x dx x x ( ) 1 ò - 2 arcsin ( 1 ) 1 arcsin dx xd x x x = - - - = ò ò = -2 1- x arcsin x + 2 x + C 9．设 F x( ) 是 f x( ) 的一个原函数，且当 x ³ 0 时，有 2 2 ( ) ( ) ( 2) x x e f x F x x = + .如果 F(0) = > 1, F x( ) 0，求 F x( ) . 解（原函数概念、凑微分、分部积分） ( ) 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) . 2 ( 2) x x e f x F x F x F x F x x ¢ = ¢ = = + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 2) 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x e x e x e dx x e d dx e xe dx x x x x x x e x xe e c e c x x = - = - + = - + + + + + + - = - + - + = + + + ò ò ò ò 所以 2 2 ( ) 2 2 x x F x e c x - = ´ + + 由题目条件，c = 3． 2( 2) ( ) 3 2 x x F x e x - = + + ．

作者：目浩201年9月 F-小P是有理码数g 10当a,6p满足什么条件时.，四2++P 解（有理函数的积分） x3x-1)2 「心2+x+P是有理函数，这时 x3(x-1)2 +b+p1)+(+B x3(r-1) x3(x-1)2 A2+B2=0, 因此人-24：么由此整理得a+26+3p=0. A2-24=b, 4=p, 11.求不定积分「一 +02+x+D 解（有理函数的积分） a话+ Ax+1)(x2+x+1)+B(x2+x+1)+(Cx+D(x+1)2=x3 令x=-l,得B=-1.令x=0,得到 A+D=1) 比较x的系数，得到 A+C=1(b) 比较一次项系数，注意到B=-1,得到 2A+C+2D=1(c） (a),(b),(c)得到A=2,C=D=-1.进而得到 注意到 Page 10 of 15

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 10 of 15 10.当a,b, p 满足什么条件时, dx x x ax bx p ò - + + 3 2 2 ( 1) 是有理函数? 解 （有理函数的积分） 因 为 2 1 2 3 3 2 1 2 3 2 2 ( 1) 1 ( -1) + - = + + + - + + x B x B x A x A x A x x ax bx p ，所以 当 0 A1 = B1 = 时 ， dx x x ax bx p ò - + + 3 2 2 ( 1) 是有理函数．这时 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) - - + - + = - + + x x A x x A x B x x x ax bx p ， 因此 ï ï î ï ï í ì = - = - = + = , 2 , 2 , 0, 3 2 3 3 2 2 2 A p A A b A A a A B 由此整理得 a + 2b + 3p = 0 ． 11.求不定积分 dx x x x x ò ( +1) ( + +1) 2 2 3 解（有理函数的积分） 3 2 2 2 2 2 2 2 3 , ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)( 1) ( 1) ( )( 1) x A B Cx D x x x x x x x A x x x B x x Cx D x x + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 令 则 1, 1. 0, 1.( ) x B x A D a = - = - = + = 令 得 令 得到 3 , 1.( ) x A+ = C b 比较 的系数 得到 比较一次项系数，注意到 B = -1, 得到 2A+C + = 2D c 1.( ) 由(a b ),( ),(c)得到A = 2,C D= = -1. 进而得到 3 2 2 2 1 1 2ln | 1| ( 1)( 1) 1 1 x x dx x dx x x x x x x + = + + - + + + + + + ò ò 注意到