《数学分析》课程教学课件（讲稿）平面点集与多元函数

§1平面点集与多元函数 多元函数是一元函数的推广，它保留着一元 函数的许多性质，同时又因自变量的增多而产 生了许多新的性质，读者对这些新性质尤其要 加以注意.下面着重讨论二元函数，由二元函数 可以方便地推广到一般的多元函数中去。 一、平面点集 二、R2上的完备性定理 三、二元函数 四、 n元函数 前页 后页) 返回

前页 后页 返回 §1 平面点集与多元函数 多元函数是一元函数的推广, 它保留着一元 函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产 生了许多新的性质, 读者对这些新性质尤其要 加以注意. 下面着重讨论二元函数, 由二元函数 可以方便地推广到一般的多元函数中去. 四、 n 元函数 返回 一、平面点集 二、 R2 上的完备性定理 三、 二元函数

一、平面点集 ※平面点集的一些基本概念由于二元函数的定 义域是坐标平面上的点集，因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念 在平面上确立了直角坐标系之后，所有有序实数 对(x,y)与平面上所有点之间建立起了一一对应 坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平 面点集，记作 E={(c,)川(c,y)满足条件P}. 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 一、平 面 点 集 ※ 平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平 E x y x y P = ( , ) ( , ) . 满足条件  对 ( , ) x y 与平面上所有点之间建立起了一一对应. 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 面点集, 记作

例如： (①全平面： R2={(,y)川-0<x<+0,-0<y<+0}.(I) m圆：C={x,y川x2+y2<r2} (2) (i矩形：S={(x,y)川a≤x≤b,c≤y≤d},(3) 也常记作：S=[a,b]×[c,d. (V)点A(,0)的6邻域： {(x,y)川(x-)2+(y-)2<62} (圆形) 与{(x,y)川1x-<6,y-|<δ}（方形)： 前页 后页 返回

前页 后页 返回 例如： (i) 全平面: = −   + −    +   2 R ( , ) | , . (1) x y x y   2 2 2 (ii) ( , ) . 圆: C x y x y r = +  (2) (iii) ( , ) , , 矩形: S x y a x b c y d =       (3) 0 0 (iv) ( , ) : 点 的 邻域 A x y  与 方形 .  ( , ) | | , | | ( ) x y x x y y −  −  0 0    也常记作： S a b c d =  [ , ] [ , ].  − + −   2 2 2 0 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) x y x x y y  圆形

d S (a)圆c (b)矩形S 图16-1 y (a)圆邻域 (b)方邻域 图16-2 前页 后页 返回

前页 后页 返回 图 16 – 1 C S x x y y O O a b c d r (a)圆 C (b) 矩形 S • • A A   图 16 – 2 x x y y O O (a)圆邻域 (b)方邻域

由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一 方邻域之内（反之亦然），因此通常用“点A的5 鍰”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域， 蒲记号U(46)或U(A)来表示. 点A的空心邻域是指： {(x,y)川0<(x-)2+0y-)2<62}(圆) 或 {(x,ylx-七K6,ly-oK6,(x,y)≠(x)}(方)， 并用记号U(A;δ)（或U°(A)来表示. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一 方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的 邻  用记号 U A( ; )  或 U A( ) 来表示. 点 A 的空心邻域是指:   2 2 2 0 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( ) x y x x y y  − + −   圆 ( , ) | | , | | ,( , ) ( , ) ( ), x y x x y y x y x y −  −   0 0 0 0    方 或 并用记号 U A U A ( ) ) ; (  ( 或 ) 来表示. 域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域, 并

注意：不要把上面的空心方邻域错写成：（请指出 错在何处？) {(x,y)00，使U(A;)cE,则称点A 是E的内点；由E的全体内点所构成的集合称为 E的内部，记作intE. 前页 返

前页 后页 返回  ( , ) 0 | | , 0 | | . x y x x y y  −   −  0 0     注意: 不要把上面的空心方邻域错写成: ( 请指出 ※ 点和点集之间的关系 以下三种关系之一: 2 AR 2 任意一点 与任意一个点集 E  R 之间必有 是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 (i) 内点——若      0, ( ; ) , 使U A E 则称点 A E 的内部, 记作 int E. 错在何处? )

(外点一若36>0，使U(4;6)⌒E=②，则称 点A是E的外点；由E的全体外点所构成的集合 称为E的外部. )界点一若V6>0,恒有 U(A;6)∩E≠☑且U(A;6)∩E≠☑ (其中E=R2IE),则称点A是E的界点；由E 的全体界点所构成的集合称为E的边界；记作∂E. 注E的内点必定属于E;E的外点必定不属于E; E的界点可能属于E,也可能不属于E.并请注意： 前页 返回

前页 后页 返回 (ii) 外点——若    =    0, ( ; ) , 使 U A E 则称 点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 c U A E U A E ( ; ) ( ; )       且 (iii) 界点—— 若    0, 恒有 c 2 (其中 E E = R \ ), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E 的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 E. 注 E 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并请注意: 称为 E 的外部

只有当OEcE时，E的外部与E才是两个相同 的集合. 例1设平面点集（见图16-3) y D={(x,y)川1≤x2+2<4(4) 满足1<x2+y2<4的一切点都 是D的内点；满足x2+y2=1 2 的一切点是D的界点，它们都属 图16-3 于D;满足x2+y2=4的一切点也 是D的界点，但它们都不属于D. 前页 返回

前页 后页 返回   E E c 只有当 时, E 的外部与 E 才是两个相同 的集合.   2 2 D x y x y =  +  ( , ) 1 4 . (4) 图 16 – 3 x y O 1 2 例1 设平面点集（见图 16 – 3） 于D; 满足 x y 2 2 + = 4 的一切点也 2 2 是 D 的内点; 满足 x y + = 1 的一切点是 D 的界点, 它们都属 2 2 满足 1 4  +  x y 的一切点都 是 D 的界点, 但它们都不属于D

离1与点集E的上述关系是按“内外”米区分 此外，还可按“疏-密”来区分，即在点A的近 意否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系： ①聚点一若在点A的任何空心邻域U(A)内都 含有E中的点，则称点A是点集E的聚点. 注1聚点本身可能属于E,也可能不属于E 注2聚点的上述定义等同于：“在点A的任何邻域 U(A)内都含有E中的无穷多个点” 注3E的全体聚点所构成的集合称为E的导集，记 前页 返回

前页 后页 返回 点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 旁是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U A( ) 内都 含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U A( ) 内都含有 E 中的无穷多个点”. 注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记

作E(或E);又称EUE为E的闭包，记作E. 例如，对于例1中的点集D,它的导集与闭包同为 D={(x,1≤x2+y2≤4}=D. 其中满足x2+y2=4的那些聚点不属于D,而其余 所有聚点都属于D. ()孤立点—若点A∈E,但不是E的聚点（即 有某6>0，使得U(A;)∩E=☑)，则称点A是 E的孤立点 注孤立点必为界点；内点和不是孤立点的界点必 前页 后页 返回

前页 后页 返回 d E E ( ) ; 或  d 作 又称 E E 为 E 的闭包, 记作 E. 例如, 对于例1 中的点集 D, 它的导集与闭包同为   d 2 2 D x y x y D =  +  = ( , ) 1 4 . 其中满足 2 2 x y + = 4 的那些聚点不属于D, 而其余 所有聚点都属于 D. (ii) 孤立点—— 若点 A E  , 但不是 E 的聚点（即 有某δ>0, 使得 U A E ( ; ) ),  =  则称点 A 是 E 的孤立点. 注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必