《数学分析》课程教学课件（讲稿）泰勒公式与极值问题

§4泰勒公式与极值问题 就本节有身而言，引入高阶偏导数是导 出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近 似计算外，又为建立极值判别准则作好了 淮备 一、 高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题 前页

前页 后页 返回 §4 泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导 出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近 似计算外, 又为建立极值判别准则作好了 准备. 三、极值问题 返回 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式

一、高阶偏导数 由于z=f(x,y)的偏导数f(x,y),f,(x,y)一般仍 然是，y的函数，加果它们关于x与y的偏导数也 存在，说 f具有二阶偏导数.二元函数的二阶偏 明 导数有如下四种形式： f(k,)=-16 9x2 TxeTxo fxr(x,y)= 2:=1z8 IxIy IveTxo 前页

前页 后页 返回 一、高阶偏导数 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 导数有如下四种形式: 存在, 说 明 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏

1(k)=:=1z0 TyTx TxeTyo 才，(x)=g=10 类似地可以定义更高阶的偏导数，例如？=f(x,y) 的三阶偏导数共有八种情形： 。- 1?i_3z 前页

前页 后页 返回 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 的三阶偏导数共有八种情形:

1z6=2 。1 .=f,x Ixyx(x,y),fxr(x,y)f(x,y) f2x(x,y),fyxr(x,y),fx(x,y). 例1求函数z=ex+2y的所有二阶偏导数和 73 Ty9x2 解由于 =e*2y,=2e*2y, Tx Iy 前

前页 后页 返回 解 由于 例1

因此有 g=(e*2)=e+2 9 2-1(e2)=2e+2 TxIy 2x=1 2e+2)=2e+2; TyIx Tx g=(2e+2)=4e+2: 2 y 前顶页

前页 后页 返回 因此有

g-1e2z8=1(2e+2)=2e+2r. 1y9x2 Ix8TyIxo Ix 例2求函数z=arctan'的所有二阶偏导数 解 数为 12zae-yi 2xy x2 1xx2+26(2+y22’ 2 前页 后近

前页 后页 返回 数为 例2

:=1知y0.x2-广 IxTy 2+。+p 2x=1ex6.x2. xx8x2+y2g(x2+22’ 2:=1ex_0=:2w 8x+y。+yy 注意在上面两个例子中都有 = IxIy TyTx 前页

前页 后页 返回 注意 在上面两个例子中都有

即先对如后对y与先对刀后对x的两个二阶偏导 数相等（称这种既有关于x,又有关于y的高阶偏导 数为混合偏导数).但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 ；0,x2+y2=0. 它的一阶偏导数为 前页

前页 后页 返回 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 它的一阶偏导数为 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导

f(x,y)=i 业，40 (x2+y2)2 0, x2+y2=0; f,(x,y)=i(x2+y2)2 30, x2+y2=0. U)关个L 的混合偏导数 前

前页 后页 返回 的混合偏导数 :

Jx(0,0)=lim fx(0,Dy)-f(0,0) =lim -Dy=-1, Dy®O Dy Dy@0 Dy fr.x(0,0)=lim f(Dx,0)-f(0,0) Dx =1. Dx®0 Dx DxR0Dx 由此看到，这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此 先按定义把则n刀y 式。由于 f(x,y)=lim f(x+Dx,y)-f(x,y) Dx®0 Dx 前页

前页 后页 返回 由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 式. 由于