《数学分析》课程教学资源（习题讲解）10-11定积分广义积分

作者：闫浩2011年9月 二、定积分应用 keGa小，且>0.又Pa)=E0+g间，则F0=0a 上有惟一实根 证（定积分性质、连续函数的零点存在定理、变限定积分的求导）因为f(x)∈C[a,b], 微F=后0a+60a创上可，且 F)=f+>0, 故F(x)在[a,b]上严格单增，又因为 Fa=8d0. 21 所以F(x)=0在[a,b]上有且只有一个实根. 2.设f(x)∈C(-o,+o),且f(x)=6f)d,则f(x)=0. 解因为f(x)∈C(-o,+o),且f(x)=6f)d,所以f(x)可导，且 f'"(x)=fx), 解得f(x)=Ce。 由于f0)-6f0)d=0,所以C=f0)=0,因此fx)=0. 3.设feC,则nfx+d=nft》d+nf(u)du. f(u) 解因为 (x)dnudunudu-inudu =In udu-fin udu+n udu, nudu(+dv=flr(u+Ddu. 所t以nfx+ih=n+la+6 gn(u)du. f(u) Page 9 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 9 of 49 二、定积分应用 1．设 f (x) ÎC[a,b]，且 f (x) > 0，又 = ò + ò x b x a dt f t F x f t dt ( ) 1 ( ) ( ) ，则 F(x) = 0 在[a,b] 上有惟一实根． 证（定积分性质、连续函数的零点存在定理、变限定积分的求导） 因为 f (x) ÎC[a,b]， 所以 = ò + ò x b x a dt f t F x f t dt ( ) 1 ( ) ( ) 在[a,b]上可导，且 0 ( ) 1 ¢( ) = ( ) + > f x F x f x ， 故 F(x) 在[a,b]上严格单增，又因为 0, ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) = ò b a a b dt F b f t dt f t F a ， 所以 F(x) = 0 在[a,b]上有且只有一个实根． 2．设 f (x) ÎC(-¥,+¥) ，且 = ò x f x f t dt 0 ( ) ( ) ，则 f (x) º 0． 解 因为 f (x) ÎC(-¥,+¥) ，且 = ò x f x f t dt 0 ( ) ( ) ，所以 f (x) 可导，且 f ¢(x) = f (x) ， 解得 x f (x) = Ce ． 由于 (0) ( ) 0 0 0 f = ò f t dt = ，所以C = f (0) = 0，因此 f (x) º 0． 3．设 f (x) Î C ，则 ò + ò + ò + = 1 0 0 1 0 ln ( ) ( ) ( 1) ln ( ) ln du f u du f u f u f x t dt x ． 解 因为 = ò - ò + ò ， ò + = ò = ò - ò + + + + = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 ln ln ln ln ( ) ln ln ln udu udu udu f x t dt udu udu udu x x x x x x x t u 且 ò = ò + = ò + = + + x x u v x udu v dv u du 0 0 1 1 1 ln ln( 1) ln( 1) ， 所以 ò + ò + ò + = 1 0 0 1 0 ln ( ) ( ) ( 1) ln ( ) ln du f u du f u f u f x t dt x ．

作者：月浩2011年9月 4.(积分型余项的泰勒公式)设f(x)∈C[a,b,那么任给x,x。∈[a,b],有 -套a-re- 特别的，在零点的展开可以写为 o-2P+r-ra =k! 5设)eC业+o且/闭+2V任1+证明函数f)在，+o) 上有界. 解当x21时，因为>(1+之，所以 +r产l1+30, f(x)= 1「万 即f(x)在l,+o)上单增 又因为 其中M是一个确定的正数，所以，当x之1时 -0-0a≤告=2M-22w. 故f(x)在，+o)上有界. 6.(Riemann-Lebesgue引理） (1)f(x)eC[a,b.证明： lim(coim()sinxd (2)f(x)eRa,bl.证明： im()cosim()sinxd0 7.设f(x)在[0，+o)上连续，对任何的a>0,求证： Page 10 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 10 of 49 4．（积分型余项的泰勒公式）设 1 ( ) [ , ] n f x C a b + Î ，那么任给 0 x, x Î[a b, ] ，有 0 ( ) 0 ( 1) 0 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( )( ) ! ! n k x k n n x k f x f x x x f t x t dt k n + = =å - + - ò 特别的，在零点的展开可以写为 ( ) 1 1 ( 1) 0 0 (0) ( ) ( )(1 ) ! ! n k n k n n k f x f x x f xt t dt k n + + = =å + - ò 5．设 ( ) [1, ) 1 f x ÎC +¥ 且 ú û ù ê ë é - + + ¢ = ) 1 ln(1 1 1 ( ) 1 ( ) 2 f x x x f x ，证明函数 f (x) 在[1,+¥) 上有界． 解 当 x ³ 1时， 因为 ) 1 ln(1 1 x x > + ，所以 ) 0 1 ln(1 1 1 ( ) 1 ( ) 2 ú > û ù ê ë é - + + ¢ = f x x x f x ， 即 f (x) 在[1,+¥) 上单增． 又因为 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ln(1 ) ln(1 ) 1 ( ) 1 M f x f x x x x x x x x x é ù ¢ = ê ú - + £ - + £ - £ + + ë û ， 其中M 是一个确定的正数，所以，当 x ³ 1时 1 1 1 ( ) (1) ( ) 2 (1 ) 2 x x M f x f f t dt dt M M t t x - = ¢ £ = - 0 ，求证：

作者：闫浩2011年9月 fdns=fa-ds 2)x0达=x) &求强限子产字达，共中国eG-训：②)一他 h 解 (1*) 男分字只h h +原R恤+品6R恤 网r6产+-：源n+局后 =黑6aam5+G,adam。+偏G,actm =0+寸(0)+0=f(0)。 (2)因为任给x>0,存在n≥0，使得nπ≤x≤(n+1)π，所以 5n恤s5sn地ssm地 (n+1)π 由于snt=nsnt=2nsmt=(n+1n[sndt=2n+, 从而 2nssn地s2n+D, (n+1)x nπ 因此 9.设f(x)在[0，上连续且大于零，求证 (1)存在x。∈(0，)，使得在区间0，]上以fx)为高的矩形面积S等于在区间 [xo,】上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积S2: (2)若f)在0，内可号，并且>-2①，则1D中的x是惟一的. X 证明（连续函数的零点存在定理、变限定积分的求导） Page 11 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 11 of 49 （1） 0 0 0 ( ( ) ) ( )( ) a x a f t dt dx = - f x a x dx ò ò ò （2） 2 0 0 0 1 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) 2 a x a f x f y dy dx = f x dx ò ò ò 8．求极限 （1 *） f x dx h x h h lim ( ) 1 1 2 2 0 ò + - ® + ，其中 f (x) ÎC[-1,1]；（2） x t dt x x ò ®+¥ 0 sin lim ． 解 （1 *） f x dx h x h f x dx h x h f x dx h x h f x dx h x h h h h h h h h h lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 1 2 2 0 2 2 0 1 2 2 0 1 1 2 2 0 ò + ò + + + ò + ò = + + + + + ® - ® - - ® - ® 0 (0) 0 (0)。 lim ( ) arctan lim ( )arctan lim ( )arctan lim ( ) lim ( ) lim ( ) 1 3 0 2 0 1 1 0 1 2 2 3 0 2 2 2 0 1 2 2 1 0 f f h x f h x f h x f dx h x h dx f h x h dx f h x h f h h h h h h h h h h h h h h p p x x x x x x = + + = = + + ò + ò + + ò + + = + + + + + + ® - ® - - ® ® - ® - - ® （2） 因为任给 x > 0，存在n ³ 0，使得 np £ x £ (n +1)p ，所以 p p p p n t dt x t dt n t dt n x n ò £ ò £ + ò ( +1) 0 0 0 sin sin ( 1) sin ， 由于 sin sin 2 , sin ( 1) sin 2( 1) 0 ( 1) 0 0 0 = = = + = + ò ò ò ò + t dt n t dt n t dt n t dt n np p n p p ， 从而 p np n x t dt n n x sin 2( 1) ( 1) 2 0 + £ ò £ + ， 因此 p sin 2 lim 0 = ò ®+¥ x t dt x x ． 9．设 f (x) 在[0,1]上连续且大于零，求证： （1）存在 (0,1) x0 Î ，使得在区间[0, ] 0 x 上以 ( ) 0 f x 为高的矩形面积 1 S 等于在区间 [ ,1] 0 x 上以 y = f (x) 为曲边的曲边梯形面积 2 S ； （2）若 f (x) 在(0,1) 内可导，并且 x f x f x 2 ( ) ¢( ) > - ，则（1）中的 0 x 是惟一的． 证明 （连续函数的零点存在定理、变限定积分的求导）

作者：月浩2011年9月 (1)令F(x)=f(x)-f)d,则F(x)在0，】上连续，且 FO)=-bfu)d0, 所以存在x0∈(0,1)，使得F(xo)=0,即 xof(xo)=f()dt 故S1=S2 (2)当f(x)在(0,1)内可导时，F(x)=x(x)-f(u)d也在(0,1)内可导，且 F'(x)=2fx)+xf"(x). 因为fx>-2,所以F')=2f+<0x∈O,即F在0]上 严格单减，故其零点惟一。 10.设函数f(x)在0，a上连续可导、单增，f(0)=0,证明 (ds+ydy=af(a). 证明（函数等式的证明，变限定积分函数的导数，定积分的换元积分公式，定积分的几何 意义) 法-令F四=f+一'o-.ue0.a小 F'(u)=f(u)+f(u)f(f(u))-f(u)-uf'(u)=0,ue[0.a]. 又F0)=0, 所以F()=0,u∈[0，ad, 故f+o-o=afa. 法二因为 or一'ds =xf(x)8-f(x)dx af(a)-f(x)dx 所以fx+Ofo=a. Page 12 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 12 of 49 （1）令 = - ò 1 ( ) ( ) ( ) x F x xf x f t dt ，则 F(x) 在[0,1]上连续，且 (0) ( ) 0, (1) (1) 0 1 0 F = -ò f t dt ， 所以存在 (0,1) x0 Î ，使得 ( ) 0 F x0 = ，即 = ò 1 0 0 0 ( ) ( ) x x f x f t dt ， 故 1 2 S = S ． （2）当 f (x) 在(0,1) 内可导时， = - ò 1 ( ) ( ) ( ) x F x xf x f t dt 也在(0,1) 内可导，且 F¢(x) = 2 f (x) + xf ¢(x)． 因为 x f x f x 2 ( ) ¢( ) > - ，所以 F¢(x) = 2 f (x) + xf ¢(x) < 0 (x Î (0,1)) ，即 F(x) 在[0,1]上 严格单减，故其零点惟一． 10．设函数 f (x) 在[0, a]上连续可导、单增， f (0) = 0 ，证明 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 f x dx f y dy af a a f a + = ò ò - ． 证明 （函数等式的证明，变限定积分函数的导数，定积分的换元积分公式，定积分的几何 意义） 法一 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 F u f x dx f y dy uf u u f u = + - ò ò - ，u Î[0, a]， 则 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0, [0, ] 1 F¢ u = f u + f ¢ u f f u - f u - uf ¢ u = u Î a - ， 又 F(0) = 0 ， 所以 F(u) = 0, u Î[0, a] ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 f x dx f y dy af a a f a + = ò ò - ． 法二 因为 = - ò = - ò ， ò = ¢ ò = - a a a a y f x f a xf x f x dx af a f x dx f y dy xf x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 f x dx f y dy af a a f a + = ò ò - ．

作者：闫浩2011年9月 法三 如图，根据定积分的几何意义，D1的面积为6f(x)k,D2的面积为一y)d, 矩形D的面积为a(a),所以 d+daf(a). 11.设I是一个开区间，f(x)eC(I),a,beI,aUxdk 证法1令F(x)=[f)d-[fdh,则F(x)在[0，上可导，且 Page 13 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 13 of 49 法三 如图，根据定积分的几何意义，D1的面积为ò a f x dx 0 ( ) ，D2的面积为ò ( ) - 0 1 ( ) f a f y dy ， 矩形 D 的面积为af (a) ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 f x dx f y dy af a a f a + = ò ò - ． 11．设 I 是一个开区间， f (x)ÎC(I),"a, , bÎ 1 0 2 3 1 0 [ f (x)dx] [ f (x)] dx ． 证法 1 令 ò ò = - x x F x f t dt f t dt 0 2 3 0 ( ) [ ( ) ] [ ( )] ，则 F(x) 在[0,1]上可`导，且 a f(a) D1 D2 D y=f(x)

作者：月浩2011年9月 F(x)=2f(x)[f()d-Lf(x)=f(x)2[f()dt-f(x)] 记g(x)=2fu)d-f(x),则 g'(x)=2fx)-2fx)f"(x)=2f(x)1-f'(x月>0， 又g0)=0,所以g(x)>0(x>0) 从而F"(x)=fx)2f)d-f(x>0(x>0), 考虑到F(O)=0,便得F(x)>0(x>0).特别地有F)>0,即结论成立。 证法2根据Cauchy中值定理，得 I[f(x)dx]If(x)dx-f(x)dx 2()f(x)dx [Lf(x)T'dx (x)'dx-[Lf(x)'dx f(5) 2f'm)fx)d+2f2() 3f(n)f'(n) 又2fx)dk>2fx)f"(x)=f2(),所以 fxk22fmfk+2fm产mf"m)+2fm>1, [Lf(x)dx 3f2(m)f'(n) 3f(n)f'(n) 故结论成立 4.若)∈Ca,1f)=0,阳5∈a,1,使得f传)= 24 图为=的+r生空x-兰+0-生 所以 e=r生x-生k+/x-生a roa-生a。 记f"(x)在[a,b]上的最大最小值分别为M,m,则 Page 14 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 14 of 49 ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] ( )[2 ( ) ( )] 2 0 3 0 F x f x f t dt f x f x f t dt f x x x ¢ = - = - ò ò ． 记 ( ) 2 ( ) ( ) 2 0 g x f t dt f x x = - ò ，则 g¢(x) = 2 f (x) - 2 f (x) f ¢(x) = 2 f (x)[1- f ¢(x)] > 0 ， 又 g(0) = 0 ，所以 g(x) > 0 (x > 0)． 从而 ( ) ( )[2 ( ) ( )] 0 ( 0) 2 0 ¢ = - > > ò F x f x f t dt f x x x ， 考虑到 F(0) = 0 ，便得 F(x) > 0 (x > 0) ．特别地有 F(1) > 0，即结论成立． 证法 2 根据 Cauchy 中值定理，得 , 3 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( )] [ ( ) ] 2 2 0 3 0 0 0 3 1 0 3 2 0 0 2 1 0 1 0 3 2 1 0 h h h h x x h x f f f f x dx f f f f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ¢ ¢ + = = - - = ò ò ò ò ò ò ò ò 又 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 h h h f x dx > f x f ¢ x dx = f ò ò ，所以 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) [ ( )] [ ( ) ] 2 2 2 2 2 0 1 0 3 2 1 0 > ¢ ¢ + > ¢ ¢ + = ò ò ò h h h h h h h h h h f f f f f f f f f x dx f f x dx f x dx ， 故结论成立． 14．若 ( ) [ , ] 2 f x ÎC a b ， ) 0 2 ( = a + b f ，则$x Î[a,b]，使得 ò - ¢¢ = b a f x dx b a f ( ) ( ) 24 ( ) 3 x ． 解 因为 2 ) 2 ( )( 2 1 ) 2 )( 2 ) ( 2 ( ) ( a b f x a b x a b f a b f x f + + ¢¢ - + - + + ¢ + = h ， 所以 ò 。 + = ¢¢ - ò + ò + ¢¢ - + - + = ¢ ò b a b a b a b a dx a b f x dx a b dx f x a b x a b f x dx f 2 2 ) 2 ( )( 2 1 ) 2 ( )( 2 1 ) 2 )( 2 ( ) ( h h 记 f ¢¢(x) 在[a,b]上的最大最小值分别为M ,m ，则

作者：闫浩2011年9月 m-生≤fx-≤M-生. 所以ms rm-在r:-0生在 2 sM 8-aa 1(6-a 故存在Ee(a,b),使得 BnKx-atby ds 2 f"()= o-a明 从而 动na "(5)= 注：此题不能错误的利用积分中值定理 15.设f)在[a.1上=阶可导，且f)<0,试i证：/x达≤(b-o生) 法一（泰勒公式、定积分的比较定理）利用泰勒公式：令口牛也=x,·写出了)在点无 2 处的带拉格朗日余项的一阶 事精公式=+，-0- 因为f"(x)<0,所以有fx)<f(x)+f"(xx-x) 再利用定积分的性质，得到 ∫心fx)d<∫fx)+f'(xx-x)d 图为广/x达=6-a=6-a生 ,x-xd=fx,fx-a+色a 2 =-生学0 故有广达<6-a的. 法二（原函数的概念、泰勒公式、牛顿一莱布尼兹公式）设F(x)=f(x),则 F"(x)=∫"(x)<0,利用泰勒公式得 Page 15 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 15 of 49 2 2 2 ) 2 ) ( 2 ) ( )( 2 ( a b M x a b f x a b m x + £ - + £ ¢¢ - + - h ， 所以 M b a dx a b f x dx a b x dx a b f x m b a b a b a £ - ò + ¢¢ - = ò + - ò + ¢¢ - £ 3 2 2 2 ( ) 12 1 ) 2 ( )( ) 2 ( ) 2 (h)( h ， 故存在x Î (a,b)，使得 3 2 ( ) 12 1 ) 2 ( )( ( ) b a dx a b f x f b a - ò + ¢¢ - ¢¢ = h x ， 从而 ò - ¢¢ = b a f x dx b a f ( ) ( ) 24 ( ) 3 x ． 注:此题不能错误的利用积分中值定理. 15． 设 f (x) 在[a,b]上二阶可导，且 f ¢¢(x) < 0，试证： ) 2 ( ) ( ) ( a b f x dx b a f b a + £ - ò ． 法一（泰勒公式、定积分的比较定理） 利用泰勒公式： 令 0 2 x a b = + ，写出 f (x) 在点 0 x 处的带拉格朗日余项的一阶 泰勒公式 2 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x f x f x x x - ¢¢ = + ¢ - + x 因为 f ¢¢(x) < 0，所以有 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x < f x + f ¢ x x - x 再利用定积分的性质，得到 ò ò ò < + ¢ - b a b a b a f (x)dx f (x )dx f (x )(x x )dx 0 0 0 因为 ) 2 ( ) ( )( ) ( ) ( 0 0 a b f x dx f x b a b a f b a + = - = - ò ) 0 2 ( 2 1 ( ) ) 2 ( )( ) ( ) ( 2 0 0 0 0 = + = ¢ - + ¢ - = ¢ - ò ò b a b a b a a b f x x dx a b f x x x dx f x x ， 故有 ) 2 ( ) ( ) ( a b f x dx b a f b a + < - ò ． 法 二 （ 原 函数的 概 念 、泰勒公式、 牛顿— 莱布尼兹 公式）设 F¢(x) = f (x) ， 则 F¢¢¢(x) = f ¢¢(x) < 0 ，利用泰勒公式得

作者：月浩2011年9月 F=Re生9+Fx6-a生9 生6-+名Fr5x6-生 2 ra=r生9+F生xa-a生9 +Fra-生+名0a- 2 所以 -F()-F(a)=F-0)+-)F)+F 0,则 (b-a)(a)<(d<(b-a)(a)+f(b) 2 证明（连续非负函数定积分的性质、下凸函数的性质）因为f(x)-f()在[a,b]上连续且 严格单增，所以 (f(x)-f(a)dxz0, Page 16 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 16 of 49 2 3 ) 2 ( )( 6 1 ) 2 )( 2 ( 2 1 ) 2 )( 2 ) ( 2 ( ) ( a b F b a b b a b F a b b a b F a b F b F + + ¢¢¢ - + - + + ¢¢ + - + + ¢ + = x 2 3 ) 2 ( )( 6 1 ) 2 )( 2 ( 2 1 ) 2 )( 2 ) ( 2 ( ) ( a b F a a b a a b F a b a a b F a b F a F + + ¢¢¢ - + - + + ¢¢ + - + + ¢ + = h 所以 )( ). 2 )( ) ( 2 ( [ ( ) ( )] 48 ( ) )( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 b a a b b a f a b F F F b a b a a b f x dx F b F a F b a - + - = + 0 ，则 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a f b b a f a f x dx b a b a + - 0 b a f x f a dx

作者：闫浩2011年9月 即(b-a)f(a)0,所以 f()sf(a)+(b)-f(a(x-a). b-a 且不恒等，故 xy<(a)+f(b)-f(@(x-a)s=f(a)+f((b-a). b-a 18.(Jensen不等式)设feR0,川，a≤f(x)sb,p(x)是[a,b]上的二阶可导的下凸函 数.证明：p(fx)d)s∫p(fx)dk 19.f,gea,1,证明：心(g(d户x)心g) 20、设)在a上造线且单调增，证明：广达之生达。 法一利用变上限定积分，利用单调性： 令F=r0h-空0h，rea,个 因为f(x)在[a,b]上连续，故有 P到=e0恤-生产 2 =2f-0a -()-f( 又因为f(x)在[a,b]上单调增，故有F'(x)≥0，从而， F(x)在[a,b]上单调增.又F(a)=0,所以有F(b)≥F(a)=0,即 ≥af 法二利用定积分的性质： 图为/)在上单调嘴，放有(《-生X-生》≥0 从而有x-a牛-a牛t≥0 注意到-=0，从面，水-生的生h=0 Page 17 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 17 of 49 即 b a f a f x dx b a ( - ) ( ) 0 ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a f x f a - - - £ + ， 且不恒等，故 ( ) 2 ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( ) b a f a f b x a dx b a f b f a f x dx f a b a b a - + ò - = - - ò < + ． 18．（Jensen 不等式）设 f R Î [0,1] ，a £ £ f ( ) x b ，j( ) x 是[a b, ]上的二阶可导的下凸函 数，证明： 1 1 0 0 j j ( f (x)dx) £ ( f (x))dx ò ò 19． f , g Î R[a b, ]，证明： 2 2 | ( ) ( ) | ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx £ f x g x ò ò ò 20． 设 f (x) 在[a,b]上连续且单调增，证明： ò ò + ³ b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) ． 法一 利用变上限定积分，利用单调性： 令 ò ò + = - x a x a f t dt a x F x tf t dt ( ) 2 ( ) ( ) ， x Î[a,b] 因为 f (x) 在[a,b]上连续，故有 ò ò ò = - - - = + ¢ = - - x a x a x a f x f t dt f x f t dt x a f x a x F x xf x f t dt [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 又因为 f (x) 在[a,b]上单调增，故有 F¢(x) ³ 0 ，从而， F(x) 在[a,b]上单调增． 又 F(a) = 0 ，所以有 F(b) ³ F(a) = 0，即 ò ò + ³ b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) 法二 利用定积分的性质： 因为 f (x) 在[a,b]上单调增，故有 )) 0 2 )( ( ) ( 2 ( ³ + - + - a b f x f a b x 从而有 )) 0 2 )( ( ) ( 2 ( ³ + - + - ò b a dx a b f x f a b x 注意到 ) 0 2 ( = + - ò b a dx a b x ，从而， ) 0 2 ) ( 2 ( = + + - ò b a dx a b f a b x

作者：月浩2011年9月 于是有-a生恤≥0，即广f达≥生7e达。 法三利用积分中值定理： S'x-ard -f-生乌-生eh -a-生h+-生a （其中，a≤5≤a+b≤5，sb) 而片-ah=x-生-叭 2 因为x)在[a,b]上单调增，且5，≥52， 所以，f传)12f(传)2 从而x-afxk=5,)-j5:6-a2≥0 即达之r达. 法四 因为fx)在[a,]上单调增，所以，1，x∈[a,b)有 u-xL/)-fx]≥0 固定x,对1积分，得 ∫f0)h-xjfu)dt+xXb-a)-fxd≥0 即∫fuad-可0fudh+fxb-a)-fw)62-a)20 再对x积分，得 (6-a'(d-((d+(-(d -6-a心fx≥0 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，得到 2(b-a)[xf(x)dx-(b2-a')[f(x)dx z0. Page 18 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 18 of 49 于是有 ) ( ) 0 2 ( ³ + - ò b a f x dx a b x ， 即 ò ò + ³ b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) ． 法三 利用积分中值定理： ò ò ò ò ò + + + + + + - + = - + + - + = - + - b a b a b a a b a b a b a b dx a b dx f x a b f x f x dx a b f x dx x a b x f x dx a b x 2 2 2 2 ) 2 ) ( ) ( 2 ( ) ( ) ( ) 2 ) ( ) ( 2 ( ) ( ) 2 ( x1 x 2 （ 其中， b a b a £ £ + £ 1 £ 2 2 x x ） 而 2 ( ) 8 1 ) 2 ) ( 2 ( 2 2 dx b a a b dx x a b x b a a b a b = - + = - + - ò ò + + 因为 f (x) 在[a,b]上单调增，且 1 2 x ³ x ， 所以， 1 2 f (x ) ³ f (x ) 从而 [ ( ) ( )]( ) 0 8 1 ) ( ) 2 ( 2 = 1 - 2 - ³ + - ò f x dx f f b a a b x b a x x 即 ò ò + ³ b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) ． 法四 因为 f (x) 在[a,b]上单调增，所以，"t ， x Î[a,b]有 (t - x)[ f (t) - f (x)] ³ 0 固定 x ，对t 积分，得 ( ) - ( ) + ( )( - ) - ( ) ³ 0 ò ò ò b a b a b a tf t dt x f t dt xf x b a f x tdt 即 ( ) 0 2 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 - + - - - ³ ò ò tf t dt x f t dt xf x b a f x b a b a b a 再对 x 积分，得 ( ) ( ) 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 - - ³ - - - + - ò ò ò ò b a b a b a b a b a f x dx b a tf t dt b a f t dt b a xf x dx ， 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，得到 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 - - - ³ ò ò b a b a b a xf x dx b a f x dx