《数学分析》课程教学课件（讲义）实数完备性的若干证明

第一章引言 实数连续性是一个古老的数学问题，在数学分析中有其十分重要的地 位。实数连续性是极限理论的基础，从而也是数学分析课的基础。16一17 世纪微积分的酝酿和产生，人们开始了对物体的连续运动的研究。像伽利 略所研究的落体运动，开普勒研究的绕月运转的行星所扫描的扇形面积， 牛比研究的“流”等都是连续变化的量。 柯西、维尔斯特拉斯用极限理论为微积分奠定了基础后，进一步刺激 了人们建立实数连续性的必要性和迫切性。否则建立在极限概念基础上的 许多结果将失去根据，一些重要的定理将无法证明。1823年，柯西给出了 “柯西收敛定理”。而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集 的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪 60年代证明了“波尔察诺一魏尔斯特拉斯紧致性定理”。海涅于1872年 提出，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。1872年，实数 的三大派理论：戴德金“分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯 特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了！1892年，巴赫曼 提出了建立实数理论的一个重要原理一一区间套原理。由此，沿柯西开辟 的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基 工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基 础之上。 本文所要讨论研究的实数连续性的八大定理。它们是确界定理、单调 有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、柯西收敛定理、聚点定理、致密 性定理、实数基本定理，它们从不同的角度描述了实数的连续性。在下文 中将给出八大定理及其中部分定理的互证过程。 。1-

- 1 - 第一章 引 言 实数连续性是一个古老的数学问题，在数学分析中有其十分重要的地 位。实数连续性是极限理论的基础，从而也是数学分析课的基础。16－17 世纪微积分的酝酿和产生，人们开始了对物体的连续运动的研究。像伽利 略所研究的落体运动，开普勒研究的绕月运转的行星所扫描的扇形面积， 牛比研究的“流”等都是连续变化的量。 柯西、维尔斯特拉斯用极限理论为微积分奠定了基础后，进一步刺激 了人们建立实数连续性的必要性和迫切性。否则建立在极限概念基础上的 许多结果将失去根据，一些重要的定理将无法证明。1823 年，柯西给出了 “柯西收敛定理”。而早在 1817 年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集 的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在 19 世纪 60 年代证明了“波尔察诺—魏尔斯特拉斯紧致性定理”。海涅于 1872 年 提出，波莱尔于 1895 年完善并证明了“有限覆盖定理”。1872 年，实数 的三大派理论：戴德金 “分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯 特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了！ 1892 年，巴赫曼 提出了建立实数理论的一个重要原理——区间套原理。由此，沿柯西开辟 的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基 工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基 础之上。 本文所要讨论研究的实数连续性的八大定理。它们是确界定理、单调 有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、柯西收敛定理、聚点定理、致密 性定理、实数基本定理，它们从不同的角度描述了实数的连续性。在下文 中将给出八大定理及其中部分定理的互证过程

第二章八大定理的描述 2.1(确界定理)设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S 有下界，则S必有下确界. 2.2（单调有界定理)在实数系中，有界的单调数列必有极限. 2.3(区间套定理）若a,b,是一个区间套，则在实数系中存在唯一 的一点5，使得5∈[an,b]n=l,2,.即an≤5sbn,n=l,2,. 2.4(有限覆盖定理)设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则 从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,]: 2.5(柯西收敛定理)数列{a}收敛的充要条件是：对e>0,存在正 整数N,使得当n,m>N时有an-a<e. 26（聚点定理)实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点. 27（致密性定理)有界数列必含有收敛子列. 2.8(实数基本定理)对R的每一个分划AB,都存在唯一的实数r, 使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B的每一个实数. -2

- 2 - 第二章 八大定理的描述 2.1（确界定理）设 S 为非空数集.若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界. 2.2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限. 2.3（区间套定理） 若 a b n n ,  是一个区间套,则在实数系中存在唯一 的一点  ,使得   = a b n n n , , 1,2,  .即 , 1,2, n n a b n   =  . 2.4（有限覆盖定理）设 H 为闭区间 a b,  的一个（无限）开覆盖，则 从 H 中可选出有限个开区间来覆盖 a b,  . 2.5（柯西收敛定理）数列 an 收敛的充要条件是：对    0 ，存在正 整数 N ，使得当 n m N ,  时有 n m a a −   . 2.6（聚点定理）实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点. 2.7（致密性定理）有界数列必含有收敛子列. 2.8（实数基本定理）对 R 的每一个分划 AB ，都存在唯一的实数 r ， 使它大于或等于下类 A 中的每一个实数，小于或等于上类 B 的每一个实数

第二章第三章八大定理的互相证明 3.1用确界定理证明其它定理： 3.1.1用确界定理证明单调有界定理 证不妨设{a,}为有上界的递增数列，由确界原理，数列{a,}有上确界 记a=sup{a,n}.下面证明a就是{an}的极限.事实上，任给e>0,按上确界 的定义，存在数列{a}中的一项aw,使的a-sN,有r-s≤xw≤xn≤r,即lx-<6.所以有，Iimx,=r. 单调下降有下界情况同理可证 3.1.3用确界定理证明有限覆盖定理3) 证设E是闭区间[a,b]的一个覆盖. 定义数集A仁{x之a区间a,x在E中存在有限开覆盖}， 从区间的左端点x=a开始.由于在E中有一个开区间覆盖a,因此a及其右 侧充分邻近的点均在A中.这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可 见，若x∈A,则整个区间[a,xcA. 若A无上界，则bEA,那么[a,)在E中存在有限子覆盖 3-

- 3 - 第二章 第三章 八大定理的互相证明 3.1 用确界定理证明其它定理： 3.1.1 用确界定理证明单调有界定理[1] 证 不妨设 an 为有上界的递增数列，由确界原理，数列 an 有上确界， 记 a a = sup n .下面证明 a 就是 an 的极限.事实上，任给   0 ，按上确界 的定义，存在数列 an 中的一项 N a ，使的 N a a −   .又由 an 的递增性，当 a N 时有 N n a a a −    . 另一方面，由于 a 是 an 的一个上界，故对一切 n a 都有 n a a a   + .所以当 n  N 时有 n a a a −   +   , 这就证得 lim n n a a → = .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它 的下确界. □ 3.1.2 用确界定理证明区间套定理[2] 证 设 xn 是单调上升有上界的实数列.由确界定理可得， r ,使 r x = sup n.因为对 , n   n r 有x ，并对 0, N N     −   x x r ,有 .又因为对 , N n   −    n N r x x r 有  ，即 n x r −   .所以有， lim n n x r → = . 单调下降有下界情况同理可证. □ 3.1.3 用确界定理证明有限覆盖定理[3] 证 设 E 是闭区间 a b,  的一个覆盖. 定义数集 A x a a x E = ,   区间 在 中存在有限开覆盖 , 从区间的左端点 x a = 开始.由于在 E 中有一个开区间覆盖 a ,因此 a 及其右 侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集 A 是非空的.从数集 A 的定义可 见,若 x A  ,则整个区间 a x A ,   . 若 A 无上界,则 b A  ,那么 a b,  在 E 中存在有限子覆盖

若A有上界，由确界定理可得r,使r=supA. 所以r0,y,使得y>r-(r-x)=x. 因为[a,y在E中存在有限子覆盖，所以[a,xc[a,y在E中存在有限子覆盖 下证b0,有r-8不是A的上界.所以{x}中大于r-s的项有无穷多个 因为r+6是A的上界所以{x,}中大于r+6的项只有有限个所以在 (-6,r+6)中有{x}的无穷多项，即 e>0,n,3n>N,使xn∈(r-6,r+e) 取s=13n,使xn∈(r+1,r-1),即。-m有k-小分如此维续下去。 取s=n>n,有郁。-小水由此得到}的子数列{化}当k→∞时， x-r.所以{x}存在收敛子数列. 3.1.5用确界定理证明实数基本定理2) 证对给定R的一个分划AB,由于beB,b是集合A的上界，由确 界定理可得，集合A有上确界r,即a∈A有a≤r.因为r是集合A的上确界， 所以r是集合A的全体上界的最小数，即为上确界.对Vb∈B,有r≤b.口 -4-

- 4 - 若 A 有上界, 由确界定理可得 r ,使 r A = sup . 所以  x r ，都有  x A.事实上，  −   (r x y ) 0, ,使得 y r r x x  − − = ( ) . 因为 a y,  在 E 中存在有限子覆盖，所以 a x a y , ,    在 E 中存在有限子覆盖 下证 b r  .用反证法.如果不然， r b  ，则 r a b  ,  .因此，在 E 中存在有一 开区间覆盖 E 覆盖 r. 0 0 0 0 a b E a r b , , .      使 由上面论证知 0 a A  ，也即区间 a a, 0  在 E 中存在有限子覆盖，向这个有限 子覆盖再加上开区间 E ，即成为 a b,  的覆盖. 所以 0 b A  ，与 r A = sup 矛盾. □ 3.1.4 用确界定理证明致密性定理[4] 证 设数列 xn 是有界数列.定义数集 A x x x =  n中大于 的点有无穷多个 因为 xn 有界，所以 A 有上界且非空.由确界定理可得 r ,使 r A = sup . 则    0 ，有 r − 不是 A 的上界. 所以 xn 中大于 r − 的项有无穷多个. 因为 r + 是 A 的上界 所以 xn 中大于 r + 的项只有有限个.所以在 (r r − +   , ) 中有 xn 的无穷多项，即       − +    0, , , , n n N x r r 使 n ( ) ( ) 1 1 1 1, , 1, 1 , 1 n n 取s n x r r x r =   + − −  使 即 ， 1 2 1 1 1 , , , 2 2 n 取s n n x r =   −  有 如此继续下去， 1 1 1 , , , k i i n s n n x r k k 取 =   −  − 有 由此得到 xn 的子数列 xnk  ，当 k → 时， kn x r − .所以 xn 存在收敛子数列. □ 3.1.5 用确界定理证明实数基本定理[2] 证 对给定 R 的一个分划 AB ，由于  b B， b 是集合 A 的上界，由确 界定理可得，集合 A 有上确界 r ，即    a A a r 有 .因为 r 是集合 A 的上确界， 所以 r 是集合 A 的全体上界的最小数,即为上确界.对    b B r b ,有 . □

3.2用单调有界定理证明其它定理： 3.2.1用单调有界定理证明确界定理[31 证已知实数集A非空.3a∈A,不妨设a不是A的上界，另外，知b是 A的上界，记a=4,6=6,用4：4的中点A二等分[4，如果 a色∈B,则取，=4,6=马：如果十eA,则取4=4,6=h 如此继续下去，便得两串序列{a,},}其中a,∈A单调上升有上界（例如 么)，6eB单调下降有下界（例如a)并且6-a,=,2(n→）.由单调 有界定理，知3r，使1ima.=.由1im(bn-an)=0,有1iman+(亿n-a)=r. 因为{b}是A的上界，所以x∈A,有x≤b,(n=1,2,),令n→n,x≤limb。=r, 所以r是A的上界 s>0,由lima,=r知3N,当n>N,有r-6<a,得3X∈A,使r-6<an<X 所以r=supA. 同理可证：非空有下界数集必有下确界 3.2.2用单调有界定理证明区间套定理31 证根据区间套定义可知{an}为单调有界数列.另依据单调有界定理， {an}有极限5，且有 an≤5，n=12,. 同理，递减有界数列b,}也有极限，并按区间套的条件有 limb。=lima=5, 且 bn25,n=1,2,. 5-

- 5 - 3.2 用单调有界定理证明其它定理： 3.2.1 用单调有界定理证明确界定理[3] 证 已知实数集 A 非空.  a A ，不妨设 a 不是 A 的上界，另外，知 b 是 A 的上界，记 1 1 a a b b = = , ，用 1 1 a b, 的中点 1 1 2 a b + 二等分 a b 1 1 ,  ，如果 1 1 2 a b B +  ，则取 1 1 2 1 2 , 2 a b a a b + = = ；如果 1 1 2 a b A +  ，则取 1 1 2 2 1 , ; 2 a b a b b + = = 如此继续下去，便得两串序列 a b n n  .其中 n a A  单调上升有上界（例如 1 b ）， b B n  单调下降有下界（例如 1 a ）并且 ( ) 1 1 2 n n b a b a n − − = →  .由单调 有界定理，知 r ，使 lim n n a r → = .由 lim 0 ( n n ) n b a → − = ,有 lim n n n ( ) n a b a r → + − = . 因为 bn 是 A 的上界，所以 , ( 1,2, ), n    = x A x b n 有 令 , lim , n n n x b r → →   = 所以 r 是 A 的上界. 0, lim , n n n   a n N a →      由 =r知 N，当 ，有r- 得 , , X A r a X n   −   使  所以 r A = sup . 同理可证：非空有下界数集必有下确界. □ 3.2.2 用单调有界定理证明区间套定理[3] 证 根据区间套定义可知 an 为单调有界数列.另依据单调有界定理， an 有极限  ，且有 , 1,2, . n a n  =  同理，递减有界数列 bn 也有极限，并按区间套的条件有 lim lim , n n n n b a  → → = = 且 , 1,2, . n b n  = 

综上可得 an≤5≤bn,n=l,2,. 最后证明满足上式得式唯一的.设数也满足 an≤5≤bn,n-1,2,. 则可得 5-5≤b。-an,n=l,2. 由区间套的条件可得 5-5≤lim(6n-an)=0, 故有5=5， 3.2.3用单调有界定理证明致密性定理4， 证首先证明有界数列{a}有单调子数列. 称其中的项有性质M,若对每个i>n,都有an>a,也就是说，an是 集合{a,>n}的最大数.分两种情况讨论： (1)数列{a,}有无穷多项具有性质M,将它们按下标的顺序排列，记为 a.a.a，满足几N,有a,不 具有性质M,即i>n有an,使得an<a,如此继续下去，我们得到一个子列{a} 单调上升，所以有界数列{a}必有单调子数列，由单调有界定理，可得{a} 存在极限。 -6-

- 6 - 综上可得： , 1,2, . n n a b n   =  最后证明满足上式得  式唯一的.设数 '  也满足 ' , 1,2, . n n a b n   =  则可得 ' , 1,2, . n n   −  − = b a n 由区间套的条件可得 ( ) ' lim 0, n n n   b a → −  − = 故有 '   = . □ 3.2.3 用单调有界定理证明致密性定理[4] 证 首先证明有界数列 an 有单调子数列. 称其中的项有性质 M ，若对每个 i n  ，都有 n 1 a a  ，也就是说， n a 是 集合 a i n i   的最大数.分两种情况讨论： (1)数列 an 有无穷多项具有性质 M ，将它们按下标的顺序排列，记为 n n nk a , a , a 1 2 ，满足 n1  n2  nk  ，那么我们就已经得到一个单调下 降的子列  . k n a (2)数列 an 只有有限项具有性质 M ，那么存在 N ，当 n N ，有 n a 不 具有性质 M ，即 , n i    i n a a 有 ，从中任选一项记为 i n a ，因为它具有性质 M ， 所以存在 2 1 n n  ，使得 1 2 , n n a a  ，如此继续下去，我们得到一个子列 ank 单调上升，所以有界数列 an 必有单调子数列，由单调有界定理，可得 ank 存在极限. □

3.2.4用单调有界定理证明实数基本定理2 证给定实数的一个分划，任取a∈4么∈B,用4,4的中点马十点二等 分a,A小知果生9eB,则取4=a4=8生当：如果生e4,则取 4=品兰么=4：.如此继续下去，便得两率序列包}小其中a,∈A单 调上升有上界（例如b),b,∈B单调下降有下界（例如a),并且 (6,-a,）-9,2(n→- 由单调有界定理，知3r,使ma,=r,m(6,-a,)=0,所以 ima+(他n-a,)=.a∈4有a,b>5,不妨设万<5，令r=5,显然 万<r<5→r∈A,r∈B,这与AB是R的一个分划矛盾. 3.3用区间套定理证明其它定理： 3.3.1用区间套定理证明确界定理 证由数集A非空，知a∈A,不妨设a不是A的上界，另外，知3b是 4的上界，记a,A创-小用44的中点生兰=等分4，A1,如果生之是 4的上弟，则取色，]-0，生]知荣生不是4的上养，则取 色，][，4]小用44的中点巴色=等分6,41-如此继续下去， .7

- 7 - 3.2.4 用单调有界定理证明实数基本定理[2] 证 给定实数的一个分划，任取 1 1 a A b B   , ,用 1 1 a b, 的中点 1 1 2 a b + 二等 分 a b 1 1 ,  ，如果 1 1 2 a b B +  ，则取 1 1 2 1 2 , 2 a b a a b + = = ；如果 1 1 2 a b A +  ，则取 1 1 2 2 1 , 2 a b a b b + = = ； 如此继续下去，便得两串序列 a b n n , .其中 n a A  单 调上升有上界（例如 1 b ）， n b B  单调下降有下界（例如 1 a ），并且 ( ) ( ) 1 1 2 n n b a b a n − − = →  . 由单调有界定理，知 r ，使 lim n n a r → = , lim 0 ( n n ) n b a → − = ,所以 lim n n n ( ) n a b a r → + − = .   = →   a A a b n n a r , 1,2, , , 有 n ( ) 令 知 ,    = →     b B a b n n r b r b , 1,2, , , , 有 n ( ) 令 知 所以a . 下面证明唯一性,用反证法.如果不然,则 1 2  = r r ，同时对  1 2 a A a r a r    , , .对 1 2    b b r b r , , 有 ，不妨设 1 2 r r  ，令 ' 1 2 2 r r r + = ,显然 ' ' ' 1 2 r r r r A r B      , ，这与 AB 是 R 的一个分划矛盾. □ 3.3 用区间套定理证明其它定理： 3.3.1 用区间套定理证明确界定理[5] 证 由数集 A 非空，知  a A ，不妨设 a 不是 A 的上界，另外，知  b 是 A 的上界，记 a b a b 1 1 , ,  =  ,用 1 1 a b, 的中点 1 1 2 a b + 二等分 a b 1 1 ,  ，如果 1 1 2 a b + 是 A 的上界，则取   1 1 2 2 1 , , 2 a b a b a  + =     ；如果 1 1 2 a b + 不是 A 的上界，则取   1 1 2 2 1 , , 2 a b a b b   + =     ；用 2 2 a b, 的中点 2 2 2 a b + 二等分 a b 2 2 ,  如此继续下去

便得区间套[ab,小.其中a,不是A的上界，6，是A的上界.由区间套定理可 得，存在唯一的r∈门[a,b,小，使1ma,=lmb.=rr∈么有x≤h,（L2), 令n→o,x≤lim=r,所以r是A的上界. 而e>0,由lima,=r知s>0,3N,当n>N,有r-60,3n,n>N,有r-gN,「an,b]含{x}的无穷多项，则M,使M,使xu∈[an,b] 当m>M时，有xn∈[a,bn]如果不然，m>M,有bM时，有 r-6<ao≤xm≤b<r+6,即xm-<6.所以limxy=r,即limx=r. 3.3.3用区间套定理证明有限覆盖定理21 证用反证法.设E是闭区间[a,b]的一个覆盖，但[a,b]没有E的有限子 覆盖.记[a,b=[a,],二等分[a,],其中必有一区间没有E的有限子覆 -8-

- 8 - 便得区间套 a b n n ,  .其中 n a 不是 A 的上界， bn 是 A 的上界.由区间套定理可 得，存在唯一的   1 , n n n r a b  =  ，使 lim lim . , 1,2, n n n ( ) n n a b r x A x b → → = =    有 ， 令 , lim n n n x b r → →   = , 所以 r 是 A 的上界. 而    0,由 lim n n a r → = 知 0, , , N n N r an     −    当 有 ,从而 , X A r a X n   −   使  ,所以 r A = sup . 同理可证：非空有下界数集有下确界. □ 3.3.2 用区间套定理证明单调有界定理[4] 证 设 xn 是单调上升有上界的实数列. b 是它的一个上界，令 1 1 a x = −1 ，二等分 a b 1 1 ,  ，其中必有一区间含 xn 的无穷多项，记其为 a b 2 2 ,  ，二等分 a b 2 2 , , 如此继续下去，便得区间套 a b n n ,  ，满足 n , a b n n ,  含 xn 的无穷多项.由区间套定理可得，  唯一的   1 , n n n r a b  =  ，使 lim lim n n n n a b r → → = = .则对 0, , , n n      −    +    n n N r a b r 有 . 取 0 n N , 0 0 , n n   a b   含 xn 的无穷多项，则 M ，使 0 0 , , M x a b M n n    使   . 当 m M 时，有 0 0 , m n n x a b     .如果不然，   m M 1 ，有 0 1 n m b x  ，则在 0 0 , n n   a b   中最多只有 xn 的前 m1 项，与 0 0 , n n   a b   的构造矛盾.从而当 m M 时，有 0 0 , n m n m r a x b r x r −     + −     即 .所以 lim , lim M n n n x r x r → → = = 即 . □ 3.3.3 用区间套定理证明有限覆盖定理[2] 证 用反证法.设 E 是闭区间 a b,  的一个覆盖,但 a b,  没有 E 的有限子 覆盖.记 a b a b , ,  = 1 1，二等分 a b 1 1 ,  ，其中必有一区间没有 E 的有限子覆

盖，记其为[4，b],二等分[a,b],.如此继续下去，便得区间套{a,b]}, 满足n,[a,b]没有E的有限子覆盖.由区间套定理可得，3唯一的 r∈[ab小使ima,=lm6.=r 由E是[a,b)的覆盖，知(a,B)∈E,使aN,有aN,有BN,有aN,有[an,b]c(aB),与[an,b]没有E的有限子覆盖矛盾. 故[a,b]在E中存在有限子覆盖. 3.3.4用区间套定理证明柯西收敛定理1 证设基本数列{x}有界，所以3a,4,使对任意的n,有a,≤xn≤b, 将区间[4,6]三等分，令G-2+血，6=8+26，得到三个长度相同的子 2 2 区间4，G[9,S[s2,b],分别记为，J2,J3,根据它们在实数轴上得左中 右位置和基本列定义，J,至少有一个区间只含有数列{x}的限多项.如 果不然，在山，均有数列的无限多项，那么6，取 X,eJ,XeJ,mm可以任意大，满足k-X≥，=b,0，与基本数列定义 矛盾，所以结论成立. 所以可以从[a,b]中去掉只含有{x}中有限多项的区间J,或J,将得 到区间[a,b]重复这个过程，可得到区间套{[a,b]},该区间套具有以下 两个性质： (1)闭区间套中的每个区间的长度使前一个区间长度的号， (2)每一个[an,b]中含有数列{x}从某项后的所有项 由(1)所得，存在唯一的实数r,使lima。=limb,=r 9-

- 9 - 盖，记其为 a b 2 2 ,  ，二等分 a b 2 2 , , 如此继续下去，便得区间套 a b n n ,  ， 满足 n a b , ,  n n  没有 E 的有限子覆盖.由区间套定理可得，  唯一的   1 , n n n r a b  =  .使 lim lim n n n n a b r → → = = . 由 E 是 a b,  的覆盖，知     (    , , ) E r 使 . 根据极限不等式， 1 1 ,   N N a 当  n n> ,有 ， 2 2 ,   N N b 当  n n> ,有 . 取 N N N = max , ( 1 2 ) ，当 n N ，有 , n n     a b .又 n n a r b   ， 所以,当 n N ，有 a b n n , ,   (  ) ，与 a b n n ,  没有 E 的有限子覆盖矛盾. 故 a b,  在 E 中存在有限子覆盖. □ 3.3.4 用区间套定理证明柯西收敛定理[1] 证 设基本数列 xn 有界，所以 1 1 a b, ，使对任意的 n ，有 1 b1 a x  n  ， 将区间[ 1 1 a ,b ]三等分，令 2 2 , 2 2 1 1 2 1 1 1 a b c a b c + = + = ，得到三个长度相同的子 区间       1 1 1 2 2 1 a ,c , c ,c , c ,b ，分别记为 1 2 3 J , J , J ，根据它们在实数轴上得左中 右位置和基本列定义， 1 3 J , J ,至少有一个区间只含有数列 xn 的限多项.如 果不然，在 1 3 J , J 均有数列的无限多项，那么 , 3 0 b − a  = 取 xn  J1 , xm  J 3 ,n,m 可以任意大，满足 3 0 b a x x n m − −   = ，与基本数列定义 矛盾，所以结论成立. 所以可以从[ 1 1 a ,b ]中去掉只含有 xn 中有限多项的区间 1 3 J 或J ，将得 到区间[ 2 2 a ,b ]重复这个过程，可得到区间套 a b n n ,  ，该区间套具有以下 两个性质： （1） 闭区间套中的每个区间的长度使前一个区间长度的 3 2 . （2） 每一个 a b n n ,  中含有数列 xn 从某项后的所有项. 由（1）所得，存在唯一的实数 r，使 lim lim n n n n a b r → → = =

因为s>0,3N使得[aw,b]c(r-6,r+6), 由(2)可得W,当n>N,有k,-0,使得Sc【-M,M],记 [a,b]=[-M,M] 现将[4，]等分为两个子区间.因S为无限点集，故两个子区间中至少有一 个含有S中无穷多个点，记此子区间为[a,b],则[4，]p[a,b],且 b-a=(6-a)=M. 再将[a,]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多 个点，取出这样的一个子区间，记为[a,b],则[a2,b]p[a,b],且 A-46-a)兰 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列{[a,b,]},它满 [an,b]p[a41,b小n=1,2,3 b。-an=÷→0(n→0)， 即{[a,b]}是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点. 由区间套定理，存在唯一的一点5∈[a,b]n=l2, 对于任意的5>0，存在N>0,当n>N时有[a,b]cU(5e) 从而U(5:)内含有S中无穷多个点，且5为S中一个聚点. 3.3.6用区间套定理证明致密性定理21 证已知3a,b,使a≤x,≤b.设[a,b]没有E的有限子覆盖， 记[a,b]=[a,],二等分[a,b],其中必有一区间含{x}的无穷多项， 记其为[a,b],二等分[a,],.如此继续下去，便得区间套[a,b],满足 -10-

- 10 - 因为     0, N 使得 a b r r N N , ,   − + (   )， 由（2）可得 N ，当 n  N ，有 n n , lim n x r x r  → −  = 且 . □ 3.3.5 用区间套定理证明聚点定理[3] 证 因 S 为有界点集，故存在 M  0 ，使得 S M M  − ,  ，记 a b M M 1 1 , ,  = − . 现将 a b 1 1 ,  等分为两个子区间.因 S 为无限点集，故两个子区间中至少有一 个含有 S 中无穷多个点，记此子区间为 a b 2 2 ,  ，则 a b a b 1 1 2 2 , ,    ，且 2 2 1 1 ( ) 1 2 b a b a M − = − = . 再将 a b 2 2 ,  等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有 S 中无穷多 个点，取出这样的一个子区间，记为 a b 3 3 ,  ，则 a b a b 2 2 3 3 , ,    ，且 3 3 2 2 ( ) 1 2 2 M b a b a − = − = . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列 a b n n ,  ，它满 足 a b a b n n n n n , , , 1,2,3, ,   =  + + 1 1 1 ( ) 2 0 , n M n n b a n − = → →  − 即 a b n n ,  是区间套，且其中每一个闭区间都含有 S 中无穷多个点. 由区间套定理，存在唯一的一点   = a b n n n , , 1,2,  , 对于任意的   0 ,存在 N  0 ，当 n N 时有 a b n n , ;   (  ) . 从而 ( ; ) 内含有 S 中无穷多个点，且  为 S 中一个聚点. □ 3.3.6 用区间套定理证明致密性定理[2] 证 已知 a b, ，使 n a x b   .设 a b,  没有 E 的有限子覆盖， 记 a b a b , ,  = 1 1，二等分 a b 1 1 ,  ，其中必有一区间含 xn 的无穷多项， 记其为 a b 2 2 ,  ，二等分 a b 2 2 ,  , 如此继续下去，便得区间套 a b n n ,  ，满足