《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第四章 线性方程组 §4.2 齐次线性方程组

第四章线性方程组 §4.2齐次线性方程组 齐次线性方程组解的性质 二 、基础解系及其求法 三、小结

第四章 线性方程组 三、小结 二、基础解系及其求法 一、齐次线性方程组解的性质 §4.2 齐次线性方程组

第四章线性方程组 齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组 01X1+012X2+.+41nXn=0 21x1+22X2+.+2mXn=0 (4-5) ml比1+am2x2+.+0mXn=0 若记 1 12 n 七 L21 A= a2 A2n Ami Xn

第四章 线性方程组 设有齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     若记 （4-5） 一、齐次线性方程组解的性质 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n m m mn n a a a x a a a x A x a a a x             = =            

第四章线性方程组 则上述方程组(4-5)可写成矩阵方程 Ax=0 (4-6) 若x1,x2,.,xn为方程(4-5)的解，则 X2 X= Xn 为方程(4-6)的解向量，也就是方程(4-5)的解向量

第四章 线性方程组 则上述方程组（4-5）可写成矩阵方程 Ax = − 0 (4 6) 1 2 1 2 , , , (4 5) n n x x x x x x x −       =       若 为方程 的解，则

第四章线性方程组 性质4.2.1两个解向量的和仍然是解向量，即 设5,5，是方程组(4-5)的解向量，则5+5也 是方程组(4-5)的解向量. 证明只需证明5+52满足方程组(4-6)即可 因为A5=0,A52=0, 所以A(5+52)=A51+A52=0, 故x=51+52也是Ax=0的解

第四章 线性方程组 1 2 1 2 , (4 5 4.2. ) (4 5 1 )     − + − 两个解向量的和仍然是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 性质 则 也 是方程组 的解向量. 证明 所以A A A (    1 2 1 2 + = + = ) 0， 1 2 因为A A   = = 0, 0， 故 x 也是Ax 0的解. =  1 +  2 = 只需证明  1 2 + 满足方程组(4 6) − 即可

第四章线性方程组 性质4.2.2一个解向量的倍数仍是解向量，即 设ξ是方程组(4-5)的解向量，几是任意数， 则2ξ也是方程组(4-5)的解向量. 证明由于A(25)=九A(5)=九0=0. 所以5也是方程组(4-5)的解向量

第四章 线性方程组 (4 5) (4 5 . .2 ) 4 2     − − 一个解向量的倍数仍是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 是任意数， 则 性质 也是方程组 的解向量. 证明 由于A A (    ) = = = ( ) 0 0. 所以 也是方程组(4 5) − 的解向量

第四章线性方程组 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量. 设5,52，.，5n-,是方程组(4-5)的解向量，元，2，.n- 是任意数，则2,5+人，52+.+九n-,5m,仍是方程组 (4-5)的解向量

第四章 线性方程组 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量 . 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , (4 5) , , (4 5) n r n r n r n r             − − − −  −  + ++ − 设 是方程组 的解向量， 是任意数，则 仍是方程组 的解向量

第四章线性方程组 二、基础解系及其求法 方程组(4-5)的全部解向量构成一个向量空间， 称为方程组(4-5)的解空间.它是R”的一个子空间. 如果方程组(4-5)有非零解，由性质4.2.1、4.2.2知， 它一定有无穷多非零解要求出(4-5)的所有解，只需 求出解空间的一个基就行了

第四章 线性方程组 二、基础解系及其求法 方程组(4-5)的全部解向量构成一个向量空间， 称为方程组(4-5)的解空间. 它是R n的一个子空间. 如果方程组(4-5)有非零解，由性质4.2.1、4.2.2知， 它一定有无穷多非零解.要求出(4-5)的所有解，只需 求出解空间的一个基就行了

第四章线性方程组 下面我们来求解空间的一个基 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假设A的 前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为

第四章 线性方程组 下面我们来求解空间的一个基 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假设A的 前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为

第四章线性方程组 b 0 1 b I= r+1 rn 0 0 0 0 0 0 0 0 与对应的线性方程组为 =-bh+1x+1-.-bnx。 ●●● (4-7) X,=-b,+1Xr+1-.-b,nXm

第四章 线性方程组 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 r n rr rn b b b b I + +               =             1 1, 1 1 1, , 1 1 , (4 7) r r n n r r r r r n n x b x b x x b x b x + + + +  = − −−     −  = − −−  与I对应的线性方程组为

第四章线性方程组 显然，线性方程组(4-5)与(4-7)同解，在方程组(4-)中， 给定x1,.Xn一组确定的数，可唯一确定x1X,的值， 便得到方程组(4-的一个解，也就是方程组(4-5)的一 个解，我们把x1Xn称为自由未知量。 令x+1Xn分别取下列-r组数 1 Xr+2 0 00 Xn

第四章 线性方程组 显然，线性方程组(4-5)与(4-7)同解，在方程组(4-7)中， 给定xr+1,.,xn一组确定的数，可唯一确定x1 ,.,xr的值， 便得到方程组(4-7)的一个解，也就是方程组(4-5)的一 个解，我们把xr+1,.,xn称为自由未知量. 令xr+1,.,xn分别取下列n-r组数 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n x x x + +                   =                                   ， ，