《概率论与数理统计》课程教学资源（导学单）概率第2次课

教学基本指标 教学课题第一章第二节随机事件的概率 课的类型新知识课 教学重点 概率的定义及性质，古典概型 教学难点概率的定 义及性质 教学要求 理解概率的概念，掌握概率的基本性质，掌握概率的加法公式、减 法公式：会计算简单的古典概型。 教 学 基 本内 容 概率的公理化定义 要求函数P(A)满足以下公理」 (1)非负性，有P(A)≥0 (2)规范性：P(2)=1 (3)可列可加性：对两两互斥事件A,A,.,A有P(AUAU-UA=P(A)+ P(Az)++P(A) 二、概率的基本性质 1.0≤P(A)≤1，P()=0,P(2)=1 2.对立事件的概率：P()=1-P(4) 3.和事件的概率：P(A+B)=P()+P(B)-P(AB) 若AB=,则P(A+B)=P(A)+P(B) 4.差事件的概率：P(A-B)=P(4)-P(AB) 若BcA,则P(A-B)=P(A)-P(B) 若AB=O,则P(A-B)=P(A)

教 学 基 本 指 标 教学课题 第一章 第二节随机事件的概率 课的类型 新知识课 教学重点 概率的定义及性质，古典概型 教学难点 概率的定 义及性质 教学要求 理解概率的概念，掌握概率的基本性质，掌握概率的加法公式、减 法公式；会计算简单的古典概型。 教 学 基 本 内 容 一、概率的公理化定义 要求函数 P(A)满足以下公理： (1)非负性，有 P(A)0; (2)规范性:P()=1; (3)可列可加性：对两两互斥事件 A1,A2,.,An 有 P(A1∪A2∪.∪An)=P(A1)+ P(A2)+.+ P(An) 二、概率的基本性质 1. 0  P(A) 1,P() = 0,P() =1 2.对立事件的概率： P(A) =1− P(A) 3.和事件的概率： P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) 若 AB =  ，则 P(A + B) = P(A) + P(B) 4.差事件的概率： P(A − B) = P(A) − P(AB) 若𝐵 ⊂ 𝐴，则 P(A − B) = P(A) − P(B) 若𝐴𝐵 = ∅,则𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴)

例1 设事件A,B的概率分别为0.3和0.5，求在下列 三种情况下P(BA)的值 )A与B互斥，(2)ACB,(3)PAB)=0.1 解答略。 例2 设P()=P,P(B)=q,P(AB)=r,用，q,r表示 (1)P(AUB),(2)P(4B). (3)P(AUB).(4)P(AB) 例3证明：(1)P(AB)≥P(A)+P(B)-1: (2)P(AAA)≥P(A)+P(A)++P(A)-(n-1) 证明略 三、古典概型 (1)非负性，对于任一个事件A,有P(A)≥0： (2)规范性：P(2)=1或P(=0: (3)有限可加性：对两两互斥事件A.A.A有P(A:UAU-UA=P(A) P(A2)++P(A) 计算公式：P(A)= A所包含的基本事件数 n 基本事件总数 典型例题讲解：（先举两个简单的例子） 例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A: 最多为2个的事件A的概率。 解]：每个球有4种放入法，3个球共有4种放入法，所以2=4=64。 (1)当杯中球的个数最氨为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰 有一个球，所以A=C43!=24:则P(A)=24/64=3/8.(21当杯中球的个 数最多为2个时，相当于四个杯中有12个杯仔恰有2个球(C4C3),另有一个 喷有个爱福为品的 (2)三数之积为21的倍数的概率P2

例 1 解答略。 例 2 例 3 证明：⑴P(AB) ≥P(A)+P(B)-1; ⑵P(A1A2.An) ≥P(A1)+P(A2)+.+P(An)-（n-1) 证明略。 三、古典概型 (1)非负性，对于任一个事件 A，有 P(A)0; (2)规范性:P()=1 或 P()=0; (3)有限可加性：对两两互斥事件 A1,A2,.,An 有 P(A1∪A2∪.∪An)=P(A1)+ P(A2)+.+ P(An) 计算公式： 基本事件总数 A所包含的基本事件数 n r P(A) = = 典型例题讲解：（先举两个简单的例子） 例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A1， 最多为 2 个的事件 A2的概率。 [解]：每个球有 4 种放入法，3 个球共有 4 3种放入法，所以||=43=64。 (1)当杯中球的个数最多为 1 个时，相当于四个杯中取 3 个杯子，每个杯子恰 有一个球，所以|A1|= C4 3 3！=24；则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个 数最多为 2 个时，相当于四个杯中有 1 个杯子恰有 2 个球(C4 1 C3 2 )，另有一个 杯子恰有 1 个球(C3 1 C1 1 )，所以|A2|= C4 1 C3 2 C3 1 C1 1 =36；则 P(A2)=36/64 =9/16  例 2 从 1,2,.,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为 10 的概率 p1； (2)三数之积为 21 的倍数的概率 p2。 , 0.3 0.5, ( ) . (1) ; (2) ; (3) ( ) 0.1. A B P BA A B A B P AB  = 设事件 的概率分别为 和 求在下列 三种情况下 的值 与 互斥 设 P A p P B q P AB r p q r ( ) , ( ) , ( ) , , , = = = 用 表示 (1) ( ), (2) ( ), (3) ( ), (4) ( ) P A B P A B P A B P AB

典型例题 1随机抽样放回榭# 不放回抽样 例1一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两 次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式：()第一次取一只球，观察其 颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。这种取球方式叫做放回抽样。(6)第 一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式 叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的 概率；(2)取到的两只球颜色相同的概率；(3)取到的两只球中至少有一只 是白球的概率。 2.分房问题： 例2设有n个人，每个人等可能地被分到N个房间中的任一间(n不超过 N)求下列事件的概率(1)指定的n个房间各有一人住： (2)n个人房间各不相同。 附（特殊的分房问题）生日问题 某专业有n(<366)个学生，求“至少有两个人生日相同”的概率 3.超几何概率 例3 设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取 n件，问其中恰有k(k≤D)件次品的概率是多少？ 解答略。 4整除问题

典型例题： 1 随机抽样{ 放回抽样 不放回抽样 例 1 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。从袋中取球两 次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式：(a)第一次取一只球，观察其 颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。这种取球方式叫做放回抽样。(b)第 一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式 叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的 概率；(2)取到的两只球颜色相同的概率；(3)取到的两只球中至少有一只 是白球的概率。 2.分房问题： 例 2 设有 n 个人，每个人等可能地被分到 N 个房间中的任一间（n 不超过 N ）求下列事件的概率（1）指定的 n 个房间各有一人住； （2）n 个人房间各不相同。 附（特殊的分房问题） 生日问题 某专业有 n (n<366) 个学生，求“至少有两个人生日相同”的概率. 3.超几何概率： 例 3 解答略。 4 整除问题 , ( ) ? , , 件 问其中恰有 件次品的概率是多少 设有 件产品 其中有 件次品 今从中任取 n k k D N D 

例4在1~1000的整数中随机地取一个数，求取到的整数能被2整除，但 不能被3整除的概率。 解答略。 例5某接待站在某一周曾接待过12次来访.已知所有这12次接待都是 在周二和周四进行的问是否可以推断接待时间是有规定的 解答略

例 4 在 1~1000 的整数中随机地取一个数,求取到的整数能被 2 整除, 但 不能被 3 整除的概率。 解答略。 例 5 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访,已知所有这 12 次接待都是 在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的. 解答略