《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章导数与微分_第二节函数的求导法则

第二节函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导公式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导公式

第二节函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 定理1如果u=)及y=v)都在点x处可导，则 它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）都在点x处 可导，且 (I)[ux)±vx)'=u'c)±V(x); 证明 (2)[u()vc'=W')v)+u心)V()；证明 u(x)v(x)-u(x)v(x) (v(x)≠0).证明 v2(x) 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 定理1 如果 u = u(x) 及 v = v(x) 都在点 x 处可导，则 (1) [u(x)  v(x)] = u(x)  v(x)； 它们的和、差、积、商(分母为零的点除外)都在点 x 处 可导，且 (2) [u(x) v(x)] = u(x) v(x) + u(x) v(x)； (3) ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2   −  =        v x v x u x v x u x v x v x u x 第二节 函数的求导法则 证明 (1) [u(x)  v(x)] = u(x)  v(x)； u = u(x) 在 x 处可导, , ( ) ( ) ( ) lim 0 x u x x u x u x x  +  −  =  → v = v(x) 在 x 处可导, . ( ) ( ) ( ) lim 0 x v x x v x v x x  +  −  =  → 于是 x u x x v x x u x v x x  +   +  −   → [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 x u x x u x v x x v x x  +  −  +  − =  → [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 x v x x v x x u x x u x x x  +  −   +  − =  →  → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 lim 0 = u (x)  v (x) . 证毕 第二节 函数的求导法则 证明 u = u(x) 在 x 处可导, , ( ) ( ) ( ) lim 0 x u x x u x u x x  +  −  =  → v = v(x) 在 x 处可导, . ( ) ( ) ( ) lim 0 x v x x v x v x x  +  −  =  → 于是 x u x x v x x u x v x x  +  +  −  → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x u x x u x v x x u x v x x v x x  +  − +  + +  − =  → [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 x v x x v x v x x u x x u x x u x x x  +  − +  +  +  − =  →  → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 lim 0 = u (x)v(x) + u(x)v (x). 证毕 (2) [u(x) v(x)] = u(x) v(x) + u(x) v(x)； 第二节 函数的求导法则 证明 u = u(x) 在 x 处可导, , ( ) ( ) ( ) lim 0 x u x x u x u x x  +  −  =  → v = v(x) 在 x 处可导, . ( ) ( ) ( ) lim 0 x v x x v x v x x  +  −  =  → 于是 x v x u x v x x u x x x  − +  +   → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 (3) ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2   −  =        v x v x u x v x u x v x v x u x v x x v x x u x x v x u x v x x x +   +  − +  =  → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x x v x x u x x u x v x u x v x x v x x +   +  − − +  − =  → ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0

第二节函数的求导法则 这些法则可简记为 (u士=W'土y推广 (u+v-w)'=u'+v-w (avy=uv+u =c (Cu)'=C'(C为常数) (u以='v+uy推旷》 (uvw)'u'vw uv'w uvw' 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 这些法则可简记为 (u  v) = u  v 推广 (u + v - w) = u + v - w (u v) = uv + uv v = C (Cu) = Cu (C 为常数) (u v) = uv + uv 推广 (uvw) = uvw + uvw + uvw 2 v u v uv v u  −  =        u = 1 2 1 v v v  = −       

第二节函数的求导法则 例1y=2x5-3x3+4x-9,求y'. 解 例2fx)=x3+4sinx-cos10,求f'x)及f'(). 解 例3y=ex(sinx+cosx),求y. 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 例1 y = 2x 5 – 3x 3 + 4x – 9 , 求 y . 第二节 函数的求导法则 解 例1 y = 2x 5 – 3x 3 + 4x – 9 , 求 y . y = (2x 5 – 3x 3 + 4x – 9) = (2x 5 ) – (3x 3 ) + (4x) – (9) = 2  5x 4 – 3  3x 2 + 4 = 10x 4 – 9x 2 + 4 . 例2 f (x) = x 3 + 4sin x – cos10 , 求 f (x) 及 f () . 第二节 函数的求导法则 解 f (x) = (x 3 + 4sin x – cos10 ) = 3x 2 – 4cos x , 例2 f (x) = x 3 + 4sin x – cos10 , 求 f (x) 及 f () . f () = 3 2 + 4 . 例3 y = ex (sin x + cos x ) , 求 y . 第二节 函数的求导法则 解 y = (ex ) (sin x + cos x ) + e x (sin x + cos x ) = ex (sin x + cos x ) + ex (cos x – sin x ) 例3 y = ex (sin x + cos x ) , 求 y . = 2ex cos x

第二节函数的求导法则 例4设y= 2-2x+2 x5-1 求 解 例5设y=tan,求y. 解 (tan x)'=sec2x,(cot x)'=-csc2x 例6设y=secx,求y. 解 (secx)'=secx.tanx,(cscx)'=-cscx.cotx 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 例4 设 第二节 函数的求导法则 解 例4 设 , 求y . 1 2 2 5 2 − − + = x x x y 5 2 2 5 2 5 ( 1) ( 2 2) ( 1) ( 2 2)( 1) − − +  − − − + −   = x x x x x x x y 5 2 5 2 4 ( 1) (2 2)( 1) ( 2 2) 5 − − − − − +  = x x x x x x . ( 1) 3 8 10 2 2 5 2 6 5 4 − − + − − + = x x x x x , 求y . 1 2 2 5 2 − − + = x x x y 例5 设 y = tan x , 求 y . 第二节 函数的求导法则 解 例5 设 y = tan x , 求 y . y  = (tan x)        = x x cos sin x x x x x 2 cos (sin )cos −sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = sec . cos 1 2 2 x x = = y x 2  = sec y = tan x x y x x x x 2 2 (tan ) = sec , (cot ) = −csc 例6 设 y = sec x , 求 y . 第二节 函数的求导法则 解 y  = (sec x)        = cos x 1 x x 2 cos (cos ) = − x x 2 cos − sin = − = sec x tan x . y = sec x y  = sec x  tan x x 例6 设 y = sec x , 求 y . y (sec x) = sec x tan x , (csc x) = −csc x cot x

第二节函数的求导法则 二、反函数的求导法则 定理2如果函数x=f)在区间L,单调、可导且 f"'y)≠0，则它的反函数y=fx)在区间 Ix={x|x=f0y),y∈Iy} 内也可导，且 [f(x)= 或 dy_ f(y) dx x dy 证明 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 二、反函数的求导法则 定理2 如果函数 x = f (y) 在区间 Iy 单调、可导且 f (y)  0，则它的反函数 y = f -1 (x) 在区间 Ix = { x | x = f (y) , y  Iy } 内也可导，且 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x   = − 或 . d d 1 d d y x x y 第二节 函数的求导法则= 证明 函数 x = f (y) 在区间 Iy 单调、可导，证明 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x   = − 由于 x = f (y) 在 Iy 内单调、可导(从而连续), 则它的反函数 y = f -1 (x) 存在，且在 Ix 内也单调、连续. 任取 x  Ix , 给 x 以增量 x (x  0 , x + x  Ix )， 由 y = f -1 (x) 的单调性可知 y = f -1 (x+x) – f -1 (x)  0 ， 于是有 . 1 y x x y   =  

第二节函数的求导法则 例7求反正弦函数y=arcsinx的导数. 解 (arcsin x)'=- ,(arccos) 1 V1-x2 例8求反正切函数y=arctanx的导数. 解 (arctan (arcot 1 1+x2 例9求对数函数y=logx(a>0,a≠1)的导数. 解 (og。xy=1 ，hy=1 xIn a 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 例7 求反正弦函数 y = arcsin x 的导数 . 第二节 函数的求导法则 解 例7 求反正弦函数 y = arcsin x 的导数 . y = arcsin x (-1  x  1) 是 x = sin y       −   2 π 2 π y 的 反函数，而 x = sin y 在       = − 2 π , 2 π y I 内单调、可导，且 (sin y) = cos y > 0 , 所以，y = arcsin x 在 (-1 , 1) 内每一点处可导，并且 y  = (arcsin x) (sin ) 1  = y cos y 1 = . 1 1 2 − x = 2 2 1 1 , (arccos ) 1 1 (arcsin ) x x x x −  = − −  = 例8 求反正切函数 y = arctan x 的导数 . 第二节 函数的求导法则 解 y = arctan x (- 0 , 所以，y = arctan x 在 (- 0 , a  1)的导数 . 第二节 函数的求导法则 解 y = loga x (0 0 , a  1)的导数 . x x x a x a 1 , (ln ) ln 1 (log ) =  =

第二节函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 定理3如果函数u=g心)在点x可导，而y=f@) 在点u=ge)可导，则复合函数y=fgc在点x可导 且其导数为 =f(wg()或 dydy du dx dx du dx 证明之 推广设y=f四，u=p(),v=Ψ)， 则复合函数 Jy=f{ply)}的链导公式为 dydy du dv dx du dy dx 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 定理3 如果函数 u = g(x) 在点 x 可导，而 y = f (u) 在点 u = g(x) 可导，则复合函数 y = f [g(x)] 在点 x 可导 且其导数为 ( ) ( ) d d f u g x x y =    或 . d d d d d d x u u y x y =  第二节 函数的求导法则 证明 ( ) ( ) d d f u g x x y =    定理3 如果函数 u = g(x) 在点 x 可导，而 y = f (u) 在点 u = g(x) 可导，则 由于 y = f (u) 在点 u 可导，因此 ( ) lim 0 f u u y u =     → ( ) ( 0) lim 0 =  + =    →   u f u u y y = f (u)u +u x u x u f u x y   +   =    ( )  于是 ( ) ( ) ( ) lim 0 lim 0 f u g x x u x u f u x y x x =            +   =     →  →  推广 设 y = f (u) , u =  (v) , v =  (x)，则复合函数 y = f {[(x)]} 的链导公式为 . d d d d d d d d x v v u u y x y =  

第二节函数的求导法则 例10设y=sin 2x 4 解 例11设y=In sin x,求 出 解 例12设y=hcos(e),求 4 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 例10 设 第二节 函数的求导法则 解 例10 设 , 1 2 sin 2 x x y + = 求 . d d x y 2 1 2 sin x x y + = 可看作由 y = sin u , 2 1 2 x x u + = 复合而成 因 cos , d d u u y = 2 2 2 2 (1 ) 2(1 ) (2 ) d d x x x x u + + − = , (1 ) 2(1 ) 2 2 2 x x + − = 所以 x y d d x u u y d d d d =  2 2 2 (1 ) 2(1 ) cos x x u + − =  . 1 2 cos (1 ) 2(1 ) 2 2 2 2 x x x x + + − = , 1 2 sin 2 x x y + = 求 . d d x y 例11设 第二节 函数的求导法则 解 例11 设 y = ln sin x , 求 . d d x y (ln sin ) d d = x  x y (sin ) sin 1 = x  x x x sin cos = = cot x . y = ln sin x y  = cot x x y = ln sin x , 求 . y d d x y 例12 设 第二节 函数的求导法则 解 (ln cos(e )) d d =  x x y [cos(e )] cos(e ) 1 =  x x (e ) cos(e ) sin( e )  − = x x x e tan(e ). x x = − 例12 设 ln cos(e ) , x y = 求 . d d x y ln cos(e ) , x y = 求 . d d x y

第二节函数的求导法则 例13设y=e",求 dy dx 解 例14设x>0,证明幂函数的导数公式 (x“)y=uxu- 解 例15证明下列双曲函数及反双曲函数的导数公式 1 (sh x)'=chx,(ch x)'=sh x,(th x)'= ch2x (arch x)= 1 (arsh x)'= (arth x)'= x2-1 1-x2 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 例13 设 第二节 函数的求导法则 解          = x x y 1 sin e d d        = x x 1 e sin 1 sin 例13 设 e , 1 sin x y = 求 . d d x y        =   x x x 1 1 e cos 1 sin . 1 e cos 1 1 sin 2 x x x = −  e , 1 sin x y = 求 . d d x y 例14 设 x > 0，证明幂函数的导数公式 第二节 函数的求导法则 解 例14 设 x > 0，证明幂函数的导数公式 ( ) . −1  =   x  x 因为 e , lnx x   = 所以 ( ) (e ) ln  =  x x   e ( ln ) ln =  x  x   x x 1 =    . −1 =  x ( ) . −1  =   x  x 例15 证明下列双曲函数及反双曲函数的导数公式 第二节 函数的求导法则 解 例15 证明下列双曲函数及反双曲函数的导数公式 . 1 1 , (arth ) 1 1 , (arch ) 1 1 (arsh ) , ch 1 (sh ) ch , (ch ) sh , (th ) 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x −  = −  = +  =  =  =  = 2 e e sh x x x − − =          −  = − 2 e e (sh ) x x x ch . 2 e e x x x = + = − 同理可得 (ch x) = sh x . . 1 1 , (arth ) 1 1 , (arch ) 1 1 (arsh ) , ch 1 (sh ) ch , (ch ) sh , (th ) 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x −  = −  = +  =  =  =  =