《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章导数与微分_第三节高阶导数

第三节高阶导数 一、定义 二、几个初等函数的n阶导数 三、莱布尼茨公式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 高阶导数 一、定义 二、几个初等函数的n 阶导数 三、莱布尼茨公式

第三节高阶导数 一、定义 定义函数y=fx)的导数仍是x的函数，一阶导数 的导数叫做二阶导数，二阶导数的导数叫做三阶导数， 一般地，n-1阶导数的导数叫做n阶导数，二阶及二 阶以上的导数统称为高阶导数.n阶导数记为 ym或 d"y dx" 二阶和三阶导数也可记为 22 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 高阶导数 一、定义 定义 函数 y = f (x) 的导数仍是 x 的函数，一阶导数 一般地，n – 1 阶导数的导数叫做 n 阶导数， 的导数叫做二阶导数，二阶导数的导数叫做三阶导数， (n) y 二阶及二 阶以上的导数统称为高阶导数. n 阶导数记为 或 . d d n n x y 二阶和三阶导数也可记为 y  , y 

第三节高阶导数 求高阶导数的方法是依次求一阶、二阶、.、直到所 需要的阶数为止.每次求导仍用一阶导数的求导公式和 法则. 例1y=2x5-x3+4x-9,求y". 解 例2证明函数y=V2x-x2满足关系式yy”+1=0 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 高阶导数 求高阶导数的方法是依次求一阶、二阶、.、直到所 需要的阶数为止. 每次求导仍用一阶导数的求导公式和 法则. 例1 y = 2x 5 –x 3 + 4x – 9 , 求 y . 第三节 高阶导数 解 y = 10x 4 – 3x 2 + 4 , 例1 y = 2x 5 –x 3 + 4x – 9 , 求 y . y = 40x 3 – 6x , y = 120x 2 – 6 . 例2 证明函数 第三节 高阶导数 解 例2 证明函数 2 y = 2x − x 满足关系式 1 0 . 3 y y + = 2 2 2 2 2 x x x y − −  = , 2 1 2 x x x − − = 2 2 2 2 2 1 2 (1 ) x x x x x x x x y − − − − − − −  = 2 2 2 2 (2 ) 2 2 (1 ) x x x x x x x − − − + − − = 2 3 2 (2 ) 1 x − x = − , 1 3 y = − 变形后得所证的关系式. 2 y = 2x − x 满足关系式 1 0 . 3 y y + =

第三节高阶导数 二、几个初等函数的n阶导数 例3求幂函数y=x“的n阶导数. (n) 解白(x)m=h, 例4求指数函数y=ex的n阶导数. 解 (ex)()=ex. 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家

第三节 高阶导数 二、几个初等函数的 n 阶导数 例3 求幂函数 y = x  的 n 阶导数 . 第三节 高阶导数 解 y =  x  -1 , y =  ( – 1)x  -2 , y =  ( – 1)( – 2)x  -3 , 例3 求幂函数 y = x  的 n 阶导数 . . y (n) = (x  ) (n) =  ( – 1)( – 2).( – n + 1)x  -n 特别地，当 = n 和  = -1 时，分别有 . 1 ( 1) ! ( ) !, 1 ( ) ( ) + −  =      = n n n n n x n x x n . 1 ( 1) ! ( ) !, 1 ( ) ( ) + −  =      = n n n n n x n x x n 例4 求指数函数 y = ex 的 n 阶导数 . 第三节 高阶导数 解 y = ex , y = ex , y = ex , . y (n) = ex . (e ) e . x (n) x = 例4 求指数函数 y = ex 的 n 阶导数 . (e ) e . x (n) x =

第三节高阶导数 例5求正弦函数y=sinx的n阶导数. 解行m+n到as=m+到 例6求对数函数y=ln(1+x)c>-1)的n阶导数 解白(1+x]m=(-y1m-1 1+x>-1) 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 高阶导数 例5 求正弦函数 y = sin x 的 n 阶导数 . 第三节 高阶导数 解 y  = cos x 例5 求正弦函数 y = sin x 的 n 阶导数 . , 2 π sin       = x +        = + 2 π y cos x       = + + 2 π 2 π sin x , 2 π sin 2       = x +         = +  2 π y cos x 2 , 2 π sin 3       = x +  依次类推，可得 . 2 π (sin ) sin ( )       x = x + n n 同理可得 . 2 π (cos ) cos ( )       x = x + n  n        = +       = +  2 π , (cos ) cos 2 π (sin ) sin ( ) ( ) x x n x x n n n 例6 求对数函数 y = ln(1 + x) (x > -1)的 n 阶导数 . 第三节 高阶导数 解 , 1 1 x y +  = ( ) ( 1) ( ) − =  n n y y 例6 求对数函数 y = ln(1 + x) (x > -1)的 n 阶导数 . ( 1) 1 1 −       + = n x . (1 ) ( 1)! ( 1) 1 n n x n + − = − − ( 1). (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1  − + − + = − − x x n x n n n ( 1). (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1  − + − + = − − x x n x n n n

第三节高阶导数 (1)）(x")m=nl, 1 2) -W n) xnti (3)(ex)m=e 何eas到9-cox+n引 (6 h(1+x]o=(-1)-n-y (x>-1) (1+x)” 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 高阶导数 ( ) !, ( ) x n n n = (e ) e , x (n) x = , 2 π (sin ) sin ( )       x = x + n  n ( 1). (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1  − + − + = − − x x n x n n n , 1 ( 1) ! 1 ( ) + −  =      n n n x n x , 2 π (cos ) cos ( )       x = x + n  n (1) (2) (3) (4) (5) (6)

第三节高阶导数 三、莱布尼茨公式 如果函数w=ux)及v=vx)都在点x处具有n阶 导数，则有 (I)(au+B四=aum+Bm(a,B∈R); (2)(w)0=∑C4a-,) 莱布尼茨公式 k-0 莱布尼茨公式可用数学归纳法证明. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 高阶导数 三、莱布尼茨公式 如果函数 u = u(x) 及 v = v(x) 都在点 x 处具有 n 阶 导数，则有 (1) ( u +  v) (n) =  u (n) +  v (n) ( ,   R) ; (2) ( ) C . ( ) ( ) 0 ( ) n k k n k k n n uv u v − = =  莱布尼茨公式 莱布尼茨公式可用数学归纳法证明

第三节高阶导数 例7设y=x2e2x,求y20). 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 高阶导数 例7 设 y = x 2e 2x ，求 y (20) . 第三节 高阶导数 解 例7 设 y = x 2 e 2x ，求 y (20) . 设 u = e2x , v = x 2 , 则 u (k) = 2k e 2x (k = 1 , 2 , . , 20) , v = 2x , v = 2 , v (k) = 0 (k = 3 , 4 , . , 20) , 由莱布尼茨公式，得 (20) 2 2 (20) ( e ) x y = x (e ) C (e ) ( ) C (e ) ( ) 2 2 (1 8) 2 2 0 1 2 (1 9) 2 2 0 2 (2 0) 2 =  x + x  + x  x x x 2 e 2 2! 20 19 2 e 20 2 e 2 2 0 2 2 1 9 2 1 8 2    =  +   + x x x x x 2 e ( 20 95). 20 2 2 = x + x + x