《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章函数与极限_D1习题课

第一章 习题保 高教教限 函数 二、 连续与间断 三、 极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数与极限 第一章

一、函数 1.函数的概念 定义：设DcR,函数为特殊的映射 f:D f(D)CR 定义域 值域 其中f(D)={yy=f(x),x∈D} 图形： y=f(x) C={(x,y)y=f(x),x∈D} (一般为曲线 D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y y = f (x) x o D 一、 函数 1. 函数的概念 定义: 定义域 值域 图形: ( 一般为曲线 ) 设 函数为特殊的映射: 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.函数的特性 有界性，单调性，奇偶性，周期性 3.反函数 设函数∫：D→f(D)为单射，反函数为其逆映射 f:f(D)→D 4.复合函数 给定函数链f:D1→f(D) g:D→g(D)cD1 则复合函数为f。g:D→f[g(D)] 5.初等函数 有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与 复合而成的一个表达式的函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射 f f D → D − : ( ) 1 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 f  g : D → f [g(D)] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与 复合而成的一个表达式的函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设函数f()= 3x+1,x x≥1 HIGH EDUCATION PRESS 0◆0C08 机动目录上页下页返回结束

例1. 设函数 , , 1 3 1, 1 ( )     +  = x x x x f x    f [ f (x)] = 3 f (x) +1, f (x) 1 f (x) , f (x) 1 x  0     = 9x + 4 , x  0 3(3x +1) +1 0  x 1 x , x 1 求 f[ f (x)]. 解: 3x +1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设f(x)+f()=2x,其中x≠0，x≠1求f(x) 解：利用函数表示与变量字母的无关的特性 令1=，即x=亡，代入原方程得 f()+f0=2,即)+f)=2 令x=,即x=己，代入上式得 )+/=2,即)+f=2 线三式蝶立一=+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . , 1 x x t − = , 1 1 t x − = 代入原方程得 , 1 1 1 u u x − − = 代入上式得 设 其中 求 令 即 即 令 即 画线三式联立 即 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1.下列各组函数是否相同？为什么？ (1)f(x)=cos(2arccosx)(x)=2x2-1,xE[-1,1] 相同 2-&8与e-*ar] 相同 与p(x)=f[f(x] 相同 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

思考与练习 1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? (1) f (x) = cos(2arccos x) ( ) 2 1, [ 1,1] 2 与 x = x − x −      = a x a x x a f x , , (2) ( )   2 ( ) 2 1 与(x) = a + x − a − x      = , 0 0, 0 (3) ( ) x x x f x 与(x) = f [ f (x)] 相同 相同 相同 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数？为什么？ (1) y= 不是 Vsin x-1 (2)y=max{sinx,cosx},x∈[0，] 是 (3)y=arcsinu,u=2+x2 不是 COSX, 0≤x≤日 提示：(2) y= sinx, 子<x≤经 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么? sin 1 1 (1) − = x y (2) max sin , cos , [0, ] 2   y = x x x 2 (3) y = arcsin u , u = 2 + x 不是 4 0  cos x,  x  4 2   sin x,  x  是 不是 提示: (2) y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.下列函数是否为初等函数？为什么？ 2 x>0 x≠0 回w-及g x-1 以上各函数都是初等函数 HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束

   +  −  = 1 , 0 1 , 0 (4) ( ) 3 3 x x x x f x     −  = 1, 0 1, 0 (2) ( ) x x f x      = 4, 1 2, 1 (3) ( ) x x f x , 2 x x = x y o 4 2 1 ⑶     −  = + 1, 1 1, 1 3 x x 1 ( 1) 3 2 − − = + x x 1 , 6 = − x o x y 1 −1 ⑵ x  0 x  1 xR 3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?    −   = , 0 , 0 (1) ( ) x x x x f x 2 = x x y 1 ⑷ 以上各函数都是初等函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.设f(x)=ex,f[o(x】=1-x,且px)≥0，求p(x) 及其定义域 5.已知()= x≥8 6.设fsnx+)=csc2x-cos2x,求f(x) sin x .解/(x)=e/Lpx)=epiw 由 e0(w=1-x 得 p(x)=Vn(1-x),x∈(-o,0] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

4. 设 ( ) , [ ( )] 1 , ( ) 0, 2 f x = e f x = − x x  x  且 求 (x) 及其定义域 . 5. 已知    +  −  = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 由 得 (x) = ln(1− x) , x(−,0] x 4. 解: x  (x)  (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5.已知f6)= x-3, x≥8 \f[f(x+5)], x<8 ,求f(5) 解：f(5)=fLf(10]=f(10-3)=f(7)=f[f12)] =f(12-3)=f(9)=6 6.设fsnx+）=csc2x-cos2x,求fx) sin x 解如+品) -+sm2x-1 =(snx+.1)2-3 .f(x)=x2-3 HIGH EDUCATION PRESS OC08 机动目录上页下页返回结束

= f[ ] 5. 已知    +  −  = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 解: f (5) f (10) = f ( ) = f (7) = f [ ] = f ( ) = f (9) = 6 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 解: (sin ) sin 1 2 sin 1 sin 1 2 f x + = + x − x x  (sin ) 3 2 sin 1 = + − x x ( ) 3 2  f x = x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束