《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 不定积分_4-1 不定积分的概念与性质

第四章 不定积分 微分法：F'(x)=(?) 互逆运算 积分法：(？)=f(x)

第四章 微分法: F(x) = ( ? ) 积分法: ( ? ) = f (x) 互逆运算 不定积分

第一节 第四章 不定积分的桡念与性质 一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 HIGH EDUCATION PRESS eC8 机动目录上页下页返回结束

二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第四章

一、原函数与不定积分的概念 定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(心) 满足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)d,则称Fc)为f) 在区间1上的一个原函数， 如 (-cost）'=sini,d(-cos）=sintdt,. sint的原函数有-cost,-coSt+3,. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 原函数与不定积分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如 sin t 的原函数有 −cos ,t − + cos 3, t ( cos sin , t t )  − = d t tdt (− = cos sin , )

问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.若原函数存在，它如何表示？ 定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上 存在原函数 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 HIGH EDUCATION PRESS ◆0C①8 机动目录上页下页返回结束

问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，f(x)的任意 原函数都可表示为F(x)+C(C为任意常数)， 证：1)(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) F(x)+C是∫(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) .[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C(C为任意常数)· HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

定理 2. 原函数都可表示为 ( C 为任意常数 ). 证: 1) 又知  [(x) − F(x)] = (x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 ( ) ( ) x F x C = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 ( C 为任意常数 )

定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在1 上的不定积分，记作f(x)dx,其中 ∫- 积分号； ∫(x)一被积函数； 积分变量； f(x)dx一被积表达式 若F'(x)=f(x),则 「f(x)drx=F(x)+C(C为任意常数) 例如， [e*dx ex+C C称为积分常数 ∫x2dx=}x3+C 不可丢！ sin xdx cos x+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, =  e x x d e C x + =  x dx 2 x + C 3 3 1 =  sin xdx − cos x + C 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

不定积分的几何意义： f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 ∫fx)dk的图形 —f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族 HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f (x)dx  的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线

例1.设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解： ,y'=2x .y=∫2xdx=x2+C 所求曲线过点(1,2)，故有 2=12+C C=1 因此所求曲线为y=x2+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y = x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x (1, 2)

从不定积分定义可知： j/x]J=/a)或dj/t]-ar (2) ∫F'(x)dr=F(x)+C或∫dF(x)=F(x+C 二、 基本积分表 利用逆向思维 () [kdx=kx+C (k为常数， (2) ∫xd=x1+C (4≠-1) (3)-Inlxi+c x<0时 (lnx)Y'=[ln(-x)]'= HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 d x d (1)  f (x)d x  = f (x) 二、 基本积分表 从不定积分定义可知: d   或 f (x)dx  = f (x)dx x = + C  (2) F(x) d F(x) 或 = + C  d F(x) F(x) 利用逆向思维 =  (1) kdx kx + C ( k 为常数) =  (2) x dx  x + C + + 1 1 1   =  x d x (3) ln x + C x  0时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (  −1) (ln x ) = [ln(−x)] x 1 =

dx (4) arctanx+C-arccot x+C 1+x dx (5) arcsinx+C-arccos x+C V1-x2 (6) cos xdx sinx+C (7) sin xdx cosx+C (8) j,-小aed=mC (9) 小e地o HIGH EDUCATION PRESS e0C①8 机动目录上页下页返回结束

= +  2 1 d (4) x x arctan x + C =  (6) cos xdx sin x + C =  x x 2 cos d (8) =  sec xdx 2 tan x + C 或 − arc cot x + C = −  2 1 d (5) x x arcsin x + C 或 − arc cos x + C =  (7) sin xdx − cos x + C =  x x 2 sin d (9) =  csc xdx 2 − cot x + C 机动 目录 上页 下页 返回 结束