《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 不定积分_4-2换元积分

第二节 第四章 换无积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 HIGH EDUCATION PRESS O◆0C08 机动目录上页下页返回结束

二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章

基本思路 设F'(u)=f(w),u=p(x可导，则有 dF[o(x)]=f[o(x)]o'(x)dx .「fIp(x】p'(x)i=F[p(x】+C=F(u+Cu=p( =∫f(u)dua=om 第一类换元法 「flp(xlp'(x)dr 第二类换元法 ∫fodu HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第二类换元法 第一类换元法 基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 F(u) = f (u), 可导, F[(x)]+C ( ) ( )d u x f u u =  = ( ) ( ) C u x F u = + = dF[(x)] = f [(x)](x)dx 则有

一、第一类换元法 定理1.设f()有原函数，u=o(x)可导，则有换元 公式 「/Lo(xp'cxir=fua=x) 即 ∫fo(x]o'(xdx=∫f(p(x)do(x (也称配无法，凑微分法 HIGH EDUCATION PRESS 0◆0C08 机动目录上页下页返回结束

一、第一类换元法 定理1. 设 f (u)有原函数 , u =(x)可导, 则有换元 公式  f (u)du u =(x)  f ((x))d(x) (也称配元法 即  =  f [(x)] (x)dx , 凑微分法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求「(ax+b)"dx(m≠-l) 解：令u=ax+b,则u'=a,故 原武-ea-Ja咖-日+c a(m+(ox +bC 注：当m=-1时 6+c HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求 解: 令 u = ax + b , 则 u a  = , 故 原式 = m u u x  d a 1 = u C m m + +  +1 1 1 注: 当 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 a m u du  1 a =

dx 想到公式 du 解： j, dx arctan u 令w=。则- arctan u C aretan(+C HIGH EDUCATION PRESS DC①8 机动目录上页下页返回结束

 + = 2 2 1 ( ) 1 d a x x a 例2. 求 解: , a x 令 u = 则 1 du dx a =  + 2 1 u du a 1 u C a = arctan + 1 想到公式  + 2 1 d u u = arctan u + C ( ) a x = 机动 目录 上页 下页 返回 结束  + 2 1 u 1 dx a a 1 =

dx (a>0) 之 arcsin ~C a du 想到 arcsinu C [fp(x)]o'(x)dx=[f((x)dp(x) (直接配元) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求 = −  2 1 d u u 想到 arcsin u + C 解:  − 2 1 ( ) d a x a x   = f ((x))d(x) (直接配元)  f [(x)] (x)dx  − = 2 1 ( ) d ( ) a x a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求[tanxd =-In cos x C 类似 jaat-mn sinx In sinx C HIGH EDUCATION PRESS O◆OC①8 机动目录上页下页返回结束

例4. 求 解:  x x x d cos sin  = − x x cos dcos  x x x sin cos d  = x x sin dsin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似

dx 解： 动。 x2-a2-2a (x-a)(x+a) 原武。] - =ax-a-l*asc-an x-a x+a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

C x a x a a + + − = ln 2 1 例5. 求 解: 2 2 1 x − a  (x − a)(x + a) (x + a) − (x − a) 2a 1 = ) 1 1 ( 2 1 a x a x + a − − = ∴ 原式 =    2a 1   + − − x a x x a dx d       = 2a 1  − − x a d(x a)     2a 1 = ln x − a − ln x + a + C  + + − x a d(x a) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

常用的几种配元形式： ()f(ax+bydx=f(ax+b)d(axb) 2jfx-d=nJrx")d(x） 6 fr"a-jre(e〉 万能凑幂法 (4)[f(sinx)cos xdx=f(sinx)(sinx) (5)⑤∫f(cos)sin=-∫f(cosx)d(eosx HIGH EDUCATION PRESS eOC08 机动目录上页下页返回结束

常用的几种配元形式: + =  (1) f (ax b)dx d(ax + b) a 1 =  − f x x x n n (2) ( ) d 1 d( ) n x n 1 =  x x f x n d 1 (3) ( ) d ( ) n x n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 =  (4) f (sin x)cos xdx d sin ( x) =  (5) f (cos x)sin xdx − d cos ( x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(6)∫f((tanx)sec2xdr=∫f((tanx)d(tanx) (7)∫f(e*e'd=jfe)d(e） ⑧j/axax=∫rhxd(n) 解赋-9-时nn =n÷2nx+c HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

=  (6) f (tan x)sec xdx 2 d tan ( x) =  f e e x x x (7) ( ) d d( ) x e =  x x f x d 1 (8) (ln ) d ln ( x) 例6. 求  1+ 2ln x d ln ( x) 解: 原式 =  + = 2 1 2ln x 1 d(1+ 2ln x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束