《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-5 函数的极值与最大值最小值

第五节 第三章 岛数的极值与 最大值最小值 函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 HIGH EDUCATION PRESS D-C①8 机动目录上页下页返回结束

二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极值与 最大值最小值 第三章

函数的极值及其求法 定义：设函数f(x)在(a,b内有定义，x0∈(a,b) 若存在x,的一个邻域，在其中当x≠xo时， (1)f(x)f(xo),则称xo为(x)的极小点， 称f(xo)为函数的极小值 极大点与极小点统称为极值点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如P146例4 f(x)=2x3-9x2+12x-3 x=1为极大点，f)=2是极大值 x=2为极小点，f(2)=1是极小值 注意： 1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 x1,x4为极大点 x2,x5为极小点 x3不是极值点 oaX1 x2 x3 xA x5 bx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 例如 (P146例4) 为极大点 , 是极大值 为极小点 , 是极小值 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1（极值第一判别法） 设函数f(x)在，的某邻域内连续，且在空心邻域 内有导数，当x由小到大通过x时， (1)f'(x)“左正右负”，则f(x)在x,取极大值 (2)手'(x)“左负右正”，则f(x)在x取极小值， (自证) 点击图中任意处动画播放暂停 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则 f x 在x0 取极小值 ( ) . 则 f x 在x0 取极大值 (自证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放\暂停

例1.求函数f(x)=(x-1)x3的极值 解)求导数了x=+(x-)子= 2)求极值可疑点 令f"(x)=0,得x1=；令f'(x)=o,得x2=0 3)列表判别 (-0,0 25 (,+∞) f'(x) f(x) 0.33 .x=0 是极大点其极大值为f(0)=0 x= 是极小点其极小值为f()=-0.33 HIGH EDUCATION PRESS 0-00C08 机动目录上页下页返回结束

例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数  = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x −  x 3 5 2 3 5 x x− =  2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f (x) =  , 得 0 x2 = 3) 列表判别 x f (x) f (x)  0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 +  是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2（极值第二判别法） 设函数f(x)在点x,处具有 二阶导数，且f'(x,)=0,f"(x)≠0 (I)若f"(x)0,则f(x)在点xo取极小值 证：()f"(o)=1im）-f)=imf x→x0 x-X0 x-→>x0X-X0 由f"(x)0，当00 当x0<x<+δ时，f'(x)<0, x0δx0x8 由第一判别法知f(x)在x,取极大值 (2)类似可证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f  x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x −  −  = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x −  = → ( ) 0 , 由 f  x0  知 存在   0, 0 , 当  x − x0   时 故当 x0 −  x  x0时，f (x)  0; 当x0  x  x0 + 时，f (x)  0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值 解：1)求导数 f'(x)=6x(x2-1)2,f"(x)=6(x2-1)5x2-1) 2)求驻点 令f'(x)=0,得驻点x1=-1,x2=0,x3=1 3)判别 因f"(0)=6>0,故f(0)=0为极小值； 又f"(-1)=f"(1)=0,故需用第一判别法判别 由于f'(x)在x=±1左右邻域内不变号， .f(x)在x=±1没有极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 ( ) 6 ( 1) , 2 2 f  x = x x − ( ) 6( 1)(5 1) 2 2 f  x = x − x − 2) 求驻点 令 f (x) = 0, 得驻点 1, 0, 1 x1 = − x2 = x3 = 3) 判别 因 f (0) = 6  0, 故 为极小值 ; 又 f (−1) = f (1) = 0, 故需用第一判别法判别. 1 x y −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、最大值与最小值问题 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则其最值只能 在极值点或端点处达到· 求函数最值的方法： (1)求f(在（内的极值可疑点 X1,X2,.,Xm (2)最大值 M=max{f(x),f(x2),.f(m),f(a),f(b)} 最小值 m=mintf(),f(x2),f(xm),f(a),f(b) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M = max f (a), f (b ) 最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别： ·当f(x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时， 若在此点取极大（小）值，则也是最大（小）值 当f(x)在[a,b]上单调时，最值必在端点处达到 对应用问题，有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大值点或最小值点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别: • 当 在 内只有一个极值可疑点时, • 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 值 . • 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 . (小) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求函数f(x)=2x3-9x2+12x在闭区间-.1 上的最大值和最小值 解：显然f(x)∈CL-4,],且 a-a 2 -6x2+18x-12=-6(x-1)( 4一W 6x2-18x+12=6(x-1(x-2), 0<x≤ f(x)在[-，]内有极值可疑点x=0,x2=1,x3=2 f()=3号，f(0)=0,f0)=5,f(2)=4,f(③)=5 故函数在x=0取最小值0；在x=1及取最大值5， 壽HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(2 9 12) 2 x − x + ( 9) 4 2 12 2  = − −   = 81−96  0 2 9 12 0 2  x − x +  f (x) = x 0 4 1 −  x  2 5 0  x  0 4 1 −  x  2 5 0  x  例3. 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 (2 9 12 ), 3 2 − x − x + x 2 9 12 , 3 2 x − x + x    f (x) = 6 18 12 2 − x + x − 6 18 12 2 x − x + 0, 1, 2 x1 = x2 = x3 = 故函数在 x = 0 取最小值 0 ; 在 x =1及 2 5 取最大值 5. = 6(x −1)(x − 2), = −6(x −1)(x − 2), 2 5 1 2 4 −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束