《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分_5-2 牛-莱公式

第二节 第五章 微积分的基本公式 一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼兹公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式 第五章

一、引例 在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t) 之间有关系 s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[☑，I,]内经过的路程为 [v()dt=s(T2)-s(Ti) 这里s(t)是v(t)的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = −  这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、积分上限的函数及其导数 定理1.若f(x)∈C[a,b],则变上限函数 (x)=∫f0)d1 是f(x)在[a,b]上的一个原函数 证：x,x+h∈[a,b],则有 a-d] x+h h -/0d=f53x<5<x+ .f(x)∈C[a,b] ∴.Φ'(x)=lim Φ(x+h-Φ(x) lim f()=f(x) h→0 h h-→0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y = f (x) a b x o y (x) x x + h  二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数   = x a (x) f (t)dt 证: x, x + h[a, b], 则有 h (x + h) −(x)  h 1 =    − + x a x h a f (t)dt f (t)dt  + = x h x f t t h ( )d 1 = f () (x   x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0  + − = → lim ( ) 0 f  h→  (x) = = f (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 若

说明： 1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 2)变限积分求导： oa- 品g”yed=1o1s F(ar f[p(x)]o'(x)-fIw(x)ly"(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导:  ( ) ( )d d d x a f t t x  = f [(x)](x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束  ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x   = f [(x)](x) − f [(x)](x)   +   =   ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x  

dt 例1.求lim x→0 2 x 0 原式 =-lime-co x-sinx) x→0 2x 2e 例2.确定常数a,b,c的值，使 lim- ax-sinx =c(c≠0) mnd+12)dt 00 解：x→0时，ax-sinx→0，c≠0，.b=0 a-cosx a-cosx 原式=lim =lim =C x-01n1+x2 x0 x2 c0,故a=1.又由1-cosx~x2,得c= HIGH EDUCATION PRESS 说明目录上页下页返回结束

( sin ) 2 cos e x x  − − 例1. 求 解: 原式 0 lim → = − x 0 0 2x 2e 1 = 说明 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解:  b = 0. 原式 = c ≠0 , 故 a =1. 又由 ～ , 得 . 2 1 c =

例3.设f(x)在[0，+o∞)内连续，且f(x)>0,证明 只要证 F'(x)>0 在(0，+∞)内为单调递增函数 证：F'(x)= fx7u)dr-fc0f)d (f)d) f()(x-t)f(Od:(x).(x-)x 0 (f)d)月 (。f0d) <5<x .F(x)在(0，+∞)内为单调增函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

= f x t f t t x ( ) ( )d 0  − 例3. 证明 在 内为单调递增函数 . 证: ( ) 2 0 f (t)dt x  x f x f t t x ( ) ( )d 0  ( ) 2 0 f (t)dt x  f x f t t x ( ) ( )d 0  (x −t)  0 只要证 F(x)  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = ( ) 2 0 f (t)dt x  f (x) (x −) f () x (0    x)

三、牛顿-莱布尼兹公式 定理2.设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原 函数，则f(x)dx=F(b)-F(a)(牛顿-莱布尼兹公式 证：根据定理1，∫f(x)d是f(x)的一个原函数，故 F(x)=∫fx)dx+C 令x=a,得C=F(a),因此∫f(x)dx=F(x)-F(a) 再令x=b,得 jfad=Fo)-Fot[P(治=F8 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

三、牛顿 – 莱布尼兹公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据定理 1, 故 F x f x x C x a = +  ( ) ( )d 因此 f (x)dx F(x) F(a) x a = −  得 记作 定理2. 函数 , 则

解：」 3 arctan x arctan√3-arctan(-l) 0=12 例5.计算正弦曲线y=sinx在[0，]上与x轴所围成 的面积 =sinx 解：A=∫sinxdx π =-COS x =-[-1-1]=2 0 πX HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 计算 解: x x x arctan 1 3 d 1 2 = + − 1 3 − = arctan 3 − arctan(−1) 3  =  12 7 = 例5. 计算正弦曲线 的面积 . 解:  =  0 A sin xdx = −cos x 0  = −[−1−1] = 2 ) 4 (  − − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x y = sin x 

例6.汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减 速停车，设汽车以等加速度α=-5m2刹车，问从开始刹 车到停车走了多少距离？ 解：设开始刹车时刻为t=0,则此时刻汽车速度 %=36(km%) 36w100 3600 (%)=10(%） 刹车后汽车减速行驶，其速度为 v(t)=vo +at =10-5t 当汽车停住时，v(t)=0,即10-5t=0,得1=2(S) 故在这段时间内汽车所走的距离为 s=6w)d1=u0-5)d=[101-r2]0 =10(m） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 10( ) s ( )= m s m 3600 361000 = 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为  = 2 0 s v(t)dt  = − 2 0 (10 5t)dt   2 2 5 = 10t − t =10(m) 0 2 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离?

内容小结 1.微积分基本公式 设f(x)eC[a,b],且F'(x)=f(x),则有 ["f(x)dx=f(5)(b-a)=F()(b-a)=F(b)-F(a) 积分中值定理 微分中值定理 牛顿-莱布尼兹公式 2.变限积分求导公式 HIGH EDUCATION PRESS 公式目录上页下页返回结束

内容小结 设 f (x)C[a,b], 且F(x) = f (x), 则有 1. 微积分基本公式 =  f x x b a ( )d 积分中值定理 = F()(b − a) = F(b) − F(a) 微分中值定理 f ()(b − a) 牛顿 – 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束