《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章函数与极限_第四节无穷小与无穷大

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第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系

第四节无穷小与无穷大 一、无穷小 定义1如果函数fc)当x→x(或x→o)时的极限为 零，那么称函数fx)为当x→x(或x→o)时的无穷小 例如， :lim(x-1)=0,所以函数x-1为当x→1时为无穷小. lim.=0,所以函数为当x-→o时为无穷小. limx X-00 0,所以函数点为当→时为无穷小 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 定义1 如果函数 f (x) 当 x→x0 (或 x→)时的极限为 零，那么称函数 f (x) 为当 x→x0 (或 x→)时的无穷小. 例如， ( 1) 0 , lim 1 − = → x x  所以函数 x–1 为当x→1时为无穷小. 0 , 1 lim = x→ x  所以函数 为当x→时为无穷小. x 1 0 , 1 1 lim = x→− − x  所以函数 为当x→-时为无穷小. 1− x 1

第四节无穷小与无穷大 定义1如果函数fx)当x→（或x→o)时的极限为 零，那么称函数f心)为当x→x(或x→0)时的无穷小. 几点说明 ()无穷小不是很小很小的数； (2)函数fx)是不是无穷小与自变量的变化过程有关； 例如，fx)=x-1,当x→1时是无穷小，当x→2时不 是无穷小. (3)0是可以作为无穷小的唯一常数。 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 无穷小与无穷大 定义1 如果函数 f (x) 当 x→x0 (或 x→)时的极限为 零，那么称函数 f (x) 为当 x→x0 (或 x→)时的无穷小. 几点说明 (1) 无穷小不是很小很小的数； (2) 函数 f (x) 是不是无穷小与自变量的变化过程有关; 例如，f (x) = x – 1 ，当 x→1 时是无穷小，当 x→2 时不 是无穷小. (3) 0 是可以作为无穷小的唯一常数

第四节无穷小与无穷大 定理1（无穷小与函数极限的关系）在自变量的同 变化过程x→x(或x→o)中，函数fc)具有极限A的 充分必要条件是fx)=A+a,其中是无穷小. 证明) 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 无穷小与无穷大 定理1(无穷小与函数极限的关系) 变化过程 x→x0 (或 x→)中，函数 f (x) 具有极限A 的 充分必要条件是 f (x) = A +  ，其中  是无穷小. 在自变量的同一 第四节 无穷小与无穷大 证明 必要性 当 0 0，  > 0, 则当 x→x0 时， 是无穷小， 且 f (x) = A +  . 这就证明了必要性

第四节无穷小与无穷大 二、无穷大 定义2设函数fx)在x的某一去心邻域内有定义 (或|x|大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的 正数M(不论它多么大)，总存在正数6（或正数），只 要x适合不等式0),对应的函 数值fx)总满足不等式 If(x)>M, 那么称函数f)为当xx(或x→o)时的无穷大. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 无穷小与无穷大 二、无穷大 定义2 设函数 f (x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义 (或 | x | 大于某一正数时有定义). 如果对于任意给定的 正数 M (不论它多么大)，总存在正数  (或正数 X)，只 要 x 适合不等式 0 X)，对应的函 数值 f (x) 总满足不等式 | f (x) | > M， 那么称函数 f (x) 为当 x→x0 (或 x→)时的无穷大

第四节无穷小与无穷大 几点说明 (1)若当x→x(或x→∞)时，fx)是无穷大，则可记为 lim f(x)=0 lim f(x)=0; x-→x0 (2)无穷大不是很大很大的数； (3)若函数为无穷大，则它必无界，反之不成立： 例如，函数f(x)=xc0sx,x∈(-0，+0). f(x)丰x cosx f(2nπ)=2nπ→0（n→o), f(5+nπ)=0， 所以当x→∞时，f(x)不是无穷大. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 无穷小与无穷大 x y f ( x) = x cos x O 几点说明 (1) 若当 x→x0 (或 x→)时，f (x) 是无穷大， =  → ( ) lim 0 f x x x 则可记为 或 =  → ( ) lim f x x (2) 无穷大不是很大很大的数； (3) 若函数为无穷大，则它必无界，反之不成立. 例如, 函数 所以当x→时， f (x) 不是无穷大. ；

第四节无穷小与无穷大 例证明limx- =0 x->l 证明 V= x-1 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 无穷小与无穷大 例 证明 . 1 1 lim 1 =  x→ x − 第四节 无穷小与无穷大 x y 1 1 1 − = x y O 证明 例 证明 . 1 1 lim 1 =  x→ x − 设  M > 0 . 要使 , 1 1 M x  − 只要 . 1 1 M x −  所以，取 , 1 M  = 则只要 x 适合不等式 , 1 0 | 1| M  x −   = 就有 . 1 1 M x  − 因此 . 1 1 lim 1 =  x→ x − x y 1 1 1 − = x y O

第四节无穷小与无穷大 铅直（垂直）渐近线 定义如果limf(x)=oo或limf(x)=o或 x→X0 limf(x)=oo,则称直线x=x是曲线y=fx)的铅直 x→x0 渐近线。例如 f(x)=2+ x- 2 f(x)= 水平渐近线 铅直渐近线 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 无穷小与无穷大 x f x − = 1 1 ( ) x y O 1 1 1 ( ) 2 − = + x f x x y 1 2 O 铅直(垂直)渐近线 定义 如果 =  → ( ) lim 0 f x x x 或 =  − → ( ) lim 0 f x x x 或 ( ) , lim 0 =  + → f x x x 则称直线 x = x0 是曲线 y = f (x) 的铅直 渐近线. 例如 铅直渐近线 水平渐近线

第四节无穷小与无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 定理2在自变量的同一变化过程中，如果f心)为无 穷大，则 1 为无穷小；反之，如果fx)为无穷小， f(x) 且f心)≠0，则 为无穷大。 f(x) 证明 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 无穷小与无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 定理2 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为无 穷大，则 ( ) 1 f x 为无穷小；反之，如果 f (x) 为无穷小， 且 f (x)  0，则 ( ) 1 f x 为无穷大． 第四节 无穷小与无穷大 证明 定理2 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为无 穷大，则 ( ) 1 f x 为无穷小；反之，如果 f (x) 为无穷小， 且 f (x)  0，则 ( ) 1 f x 为无穷大． 设 ( ) . lim 0 =  → f x x x   > 0 . 由无穷大的定义， 对于 , 1  M = 当 0 0, | <  时，有 , 1 | ( )|  f x  M = , ( ) 1   f x 所以 ( ) 1 f x 为当 x→x0 时的无穷小