《高等数学》课程教学资源（PPT课件）9.7方向导数与梯度

第七节 第九章 方向导数写梯袁 一、方向导数 二、梯度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第九章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数与梯度

一、方向导数 定义：若函数f(xy)在点(x,y)处 沿方向1（方向角为α，B)存在下列极限 Px,月 lim △f t-→0 t lim f(o+tcosa,yo+tcosB)-f(xo-yo) 记作af 1→0 al 则称 为函数在点P,处沿方向1的方向导数 al HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

l P(x, y) 一、方向导数 定义: 若函数 f (x, y) t f t  → + 0 lim 则称 l f   ( ) 0, 0 x y l f   t 为函数在点 处沿方向 l 的方向导数. t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → +   在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处 沿方向 l (方向角为  ,  ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束P = 记作 0 p

定理：若函数f(x,y)在点P(x,)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 1\ =f(xoo)cosa+(o,)cosB 其中a,B为l的方向角 证明：由函数f(x,y)在点P,可微，得 P(x,y) 8LAx+0A+00) ∂y =tf(xovo)cosa+f(xoxo)cosB)+0(t) 故t =f(xo.Yo)cosa+f(xo.Yo)cosB HIGH EDUCATION PRESS D0C08 机动目录上页下页返回结束

( , ) ( , ) , 若函数 f x y 在点P0 x0 y0 处可微 P(x, y) l 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , t f l f t  =   → + 0 lim ( 0 , 0 ) cos ( 0 , 0 ) cos  0 f x y f x y l f x y P = +   证明: 由函数 f (x, y) y o(t ) y f x x f f  +    +    = 且有 + o(t ) 在点 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t P 故

特别： ·当1与x轴同向(a=0,P=号)时，有 of_of al 8x ·当1与x轴反向(a=x,B=受)时，有 al 8x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f l f   =   特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0,   =  = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 ,   =   = x f l f   = −  

例1.求函数z=xe2在点P(1,0)沿从点P1,0) 到点Q2,-1)的方向导数 解：向量1=P2,的方向余弦为 1 cosa= cosB=月 品司2w*l四 v2 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求函数 在点 P(1, 0) 沿从点 到点Q(2,-1)的方向导数 .     =    l l z      + − ) 2 1 2 ( 2 2 y 1 2 y e x e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 的方向余弦为

例2.求函数f(x,y,z)=xy+z+zx 在点P(1,1,2)沿方向1 的方向导数，其中方向角分别为60°，45°，60 解：与同向的单位向量为 5=5osm)=兮是为 因为函数可微分，且 .f(1,1,2)=3,f,(1,1,2)=3,f(1,1,2)=2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

例2. 求函数 在点P(1,1,2)沿方向 的方向导数, 其中l方向角 分别为 解:与l同向的单位向量为 因为函数可微分,且  f x (1,1,2) = 3, f y (1,1,2) = 3, f z (1,1,2) = 2 ) 2 1 , 2 2 , 2 1 = (cos 60 ,cos 45 ,cos60 ) = (     l e 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、梯度 方向导数公式 f_f cosa af cosY 令向量G= f of of 0x∂y'2 70=(cosa,cos阝，cos7） ⊙y-G70=Gcos(G,70)(70=1） 当70与G方向一致时，方向导数取最大值： max )-i 这说明 G 方向：f变化率最大的方向 模：f的最大变化率之值 HIGH EDUCATION PRESS 0C⊙8 机动目录上页下页返回结束

二、梯度 方向导数公式 cos cos  cos z f y f x f l f   +   +   =   令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束             = z f y f x f G , , (cos , cos , cos ) 0 l =    , 当l 0 与G方向一致时 G : ( ) G l f =   max

1.定义 向量G称为函数f(P)在点P处的梯度(gradient), 记作grad f,即 m-888- 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 m-+8影-(88） 说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 2.梯度的几何意义 HIGH EDUCATION PRESS 页返回结束

1. 定义 grad f , 即 同样可定义二元函数 P(x, y) 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度             = z f y f x f , , 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量 2. 梯度的几何意义

对函数：=f(x,),曲线 任飞》在0而的报 影L:f(x,y)=C称为函数f的等值线 设f,f,不同时为零，则L上点P处的法向量为 (fs,fy)p=grad f p =C3 同样，对应函数u=f(x,y,), 有等值面（等量面）f(x,y,z)=C, 当各偏导数不同时为零时，其上 点P处的法向量为grad fp: (设c1<C2<C〉 函数在一点的梯度垂直于该点等值面（或等值线） 指向函数增大的方向 考HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 在 xoy面上的投 z C z f x y    = = ( , ) L : f (x, y) = C 影 * 称为函数 f 的等值线 . 设 , 不同时为零 , x y f f 则L *上点P 处的法向量为 x y P ( f , f ) P = grad f o y x 1 f = c 2 f = c 3 f = c ( ) 1 2 3 设c  c  c P 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 grad . P f 对函数 z = f (x, y), 指向函数增大的方向

3.梯度的基本运算公式 (1)gradC=0 (2)grad(Cu)=Cgrad u (3)grad(u±v)=grad u±grad v (4)grad(uv)=ugrad v+vgrad u (5)gradf(u)=f"(u)grad u HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 梯度的基本运算公式 (2) grad(Cu) = Cgrad u (4) grad(u v) = u grad v + vgrad u 机动 目录 上页 下页 返回 结束