《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第一章 n阶行列式 1-4 克莱姆法则

章行列式 §1.4克莱姆法则 克莱姆法则 重要定理 三、小结思考题

第一章 行列式 三、小结 思考题 二、重要定理 一、克莱姆法则 §1.4 克莱姆法则

第一章行列式 一、克莱姆法则 111+012X2+.+1n七n=b1 线性方程组 21X1+022X2+.+42mn=b2 (1) amx+an2x2++amx=b 其特点：方程的个数与未知量的个数相等 系数为0(i=1,2,.,;j=1,2,.,n) 常数项为b,(i=1,2,.,n)

第一章 行列式 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                      线性方程组 一 、克莱姆法则 其特点：方程的个数与未知量的个数相等. 系数为 a (i 1,2, ,n; j 1,2, ,n) ij     常数项为 b (i 1,2, ,n) i  

第一章行列式 方程组的系数构成的行列式 D= L21 L22 'm 称为方程组(1)的系数行列式

第一章 行列式 方程组的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1  称为方程组(1)的系数行列式

第一章行列式 定理1（克莱姆法则）如果线性方程组()的系数 行列式D≠0时，那么线性方程组(1)有解，并且解 是唯一的，可以表示为 D (2) D D,x= D 其中D是把系数行列式D中第列的元素用方程组 右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 D n.n,j-l b。 Ln,j+.Lm

第一章 行列式 . D D , , x D D , x D D , x D D x n     n  3 3 2 2 1 1 其中 Dj是把系数行列式D 中第 j列的元素用方程组 右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1      定理1（克莱姆法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 时，那么线性方程组(1)有解，并且解 是唯一的，可以表示为 D  0 （2）

第一章行列式 克莱姆(Cramer.Gabriel,1704.7.31-1752.1.4)是瑞士数学家 生于日内瓦，卒于法国塞兹河畔巴尼奥勒.早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授， 1750年任哲学教授。 他自1727年进行为期两年的旅行访学.在巴塞尔与约翰、伯 努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、 法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信中 ，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值 的文献.1734年成为几何学教授.1750年任哲学教授.他一生 未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇 家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员

第一章 行列式 克莱姆(Cramer• Gabriel, 1704.7.31-1752.1.4)是瑞士数学家. 生于日内瓦,卒于法国塞兹河畔巴尼奥勒.早年在日内瓦读书， 1724 年起在日内瓦加尔文学院任教,1734年成为几何学教授， 1750年任哲学教授. 他自1727年进行为期两年的旅行访学.在巴塞尔与约翰、伯 努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、 法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信中 ，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值 的文献.1734年成为几何学教授. 1750年任哲学教授.他一生 未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇 家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员

第一章行列式 0, D,.xn D (2) 分析：将(2)变形可以得到 xD=D,(j=1,2,-) (3) 当D≠0时，方程组(3)有唯一解. 要证明克莱姆法则，只要证明下面两点： 1.方程组(1)的解都是方程组(3)的解； 2.显然当D≠0时，方程组3)有唯一的解就是(2)； 验证(2)也是方程组()的解： 综上两点可得结论成立

第一章 行列式 分析：将(2) 变形可以得到 时，方程组(3)有唯一解. 验证(2) 也是方程组(1) 的解； (3) 当 要证明克莱姆法则，只要证明下面两点： 2. 显然当 (2) 1.方程组(1)的解都是方程组(3)的解； 时,方程组(3)有唯一的解就是(2) ； 综上两点可得结论成立

第一章行列式 证明1.设x0=1,2,川是方程组(1)的解，下面验证 x,0=1,2,m也是方程组（3)的解. 将x,0=1,2,川代入(3)第)(U=1,2,)个方程左端得 a11 a12 am xjauj aun a21 a22 . 02n az1 x azj a2n x D=xj . an an2 . ann am Xjanj ann . ∑x,a j cj+xC a21 ∑xa j (i=1j-1j+1n） . n ann j-1

第一章 行列式 证明 1.设 是方程组（1）的解，下面验证 也是方程组（3）的解. 将 代入(3)第 个方程左端得

第一章行列式 a1j+1 a2j-1 b, a2j+2 -Dj' a-1 bn anj+2 ann 即 XD=D:(j=1.2.n) (3) 也就是方程组(1)的解都是方程组(3)的解. 2.当D≠0时，得(3)式有唯一解 ￥号0=-l2m, 由证明1知，如果方程组(1)有解，就只能是解(2) 下面验证(2)式一定是方程组(1)的解.将(2)是代入方程组(1)中第i 个方程的左边并化简，可得

第一章 行列式 即 （3）

第一章行列式 a+a+amn=an D D+ai D D2+am p p(D+oD.D) [o（64++6.4+a264a++6,4） +.+am（6An+.+bnAm月 Ba4i++a4.++a4+ta4++b,a4+ta4】》 (0++0+bD+0+.+0)=b 这说明(2)式是方程组(1)的解.定理证毕

第一章 行列式

第一章行列式 克拉默法则可以简单叙述为：如果线性方程组 (1)的系数行列式不等于零，则方程组有唯一的解 复习 原命题：若A成立，则B成立 逆命题：若B成立，则A成立 否命题：若A不成立，则B不成立 逆否命题：若B不成立，则A不成立 原命题与逆否命题、逆命题与否命题同真同假

第一章 行列式 逆命题：若B成立，则A成立. 原命题：若A成立，则B成立 否命题：若A不成立，则B不成立. 逆否命题：若B不成立，则A不成立. 原命题与逆否命题、逆命题与否命题同真同假. 复习 克拉默法则可以简单叙述为：如果线性方程组 (1)的系数行列式不等于零，则方程组有唯一的解