《线性代数》课程电子教案（C）第三章 矩阵的运算 3-4 分块矩阵

教学课型：理论课☑实验课口习题课口 第3-4节 实贱课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 分块矩阵及其运算，分块对角矩阵及其性质，分块矩阵的应用. 重点： 分块对角矩阵的性质，分块矩阵的应用。 难点： 分块矩阵的应用。 教学目的要求 (1)掌握分块矩阵及其运算： (2)理解分块对角矩阵的性质： (3)熟悉分块矩阵的应用： 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教有出版社

第 3-4 节 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 分块矩阵及其运算，分块对角矩阵及其性质，分块矩阵的应用. 重点： 分块对角矩阵的性质，分块矩阵的应用。 难点： 分块矩阵的应用。 教学目的要求： （1）掌握分块矩阵及其运算； （2）理解分块对角矩阵的性质； （3）熟悉分块矩阵的应用； 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

§3.4分块矩阵 对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成 小矩阵的运算.我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩 阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 例如A是一个3×4矩阵 a11a12a13a14 A=a21a2a23a24, La31a32a33a34 我们可以如下的把它分成四块：记 A1=[a1a2J,A2=a3a4] Taz da.A=dsas 41= dns dzs a1a32' 那么A可以筒单写成 A 「A1A2 A1 A22 给定一个矩阵，由于横线、纵线的取法不同，所以可以得到不同的分块矩阵 究竞取哪种分法合适，这要根据讨论问题的需要来决定.分法取定后，同一行的 子块有相同的行数，同一列的子块有相同的列数 下面来介绍分块矩阵的运算. 1.加法运算 设A、B都是mXn矩阵，按同样的分法对A、B进行分块 「A,A2.Ag B1B12.Bg A=. B=. AAp2.Ag Bo Bp2.Bpm 于是 A±B1A42±B2.Ag±Bg A±B= 。 Ap1±BpAp2±Bp2Apg±Bpg」

§3.4 分块矩阵 对于行数和列数较高的矩阵 A ，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成 小矩阵的运算.我们将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩 阵称为 A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 例如 A 是一个 3 4 矩阵            3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a a a a a a a a a a a a A ， 我们可以如下的把它分成四块：记   A11  a11 a12 ，   A12  a13 a14 ，        31 32 21 21 21 a a a a A ，        33 34 23 24 22 a a a a A ， 那么 A 可以简单写成        21 22 11 12 A A A A A . 给定一个矩阵，由于横线、纵线的取法不同，所以可以得到不同的分块矩阵. 究竟取哪种分法合适，这要根据讨论问题的需要来决定.分法取定后，同一行的 子块有相同的行数，同一列的子块有相同的列数. 下面来介绍分块矩阵的运算. 1.加法运算 设 A、 B 都是 mn 矩阵，按同样的分法对 A 、 B 进行分块            p p p q q A A A A A A A       1 2 1 1 1 2 1 ，            p p p q q B B B B B B B       1 2 1 1 1 2 1 ， 于是                   p p p p p q p q q q A B A B A B A B A B A B A B       1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1

2.数乘运算 对于任意数入，有 2A,2A2.Ag 4i2Ap2.AmJ 这就是说，两个同型矩阵A、B,如果按相同的分块法进行分块，那么A与 B相加、减时，只需把对应位置的子块相加减：用一个数乘一个分块矩阵时，只 需用这个数乘以各子块 3.乘法运算 最常用的是分块矩阵的乘法.设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，对A、B进 行分块，使得A的列的分法与B的行的分法一致，即设A,B分块分块后分别为 AA2.A BB.Bg A=.B=. Apl Ap2.Apt Bn Bn2 .B 其中， A1,42,A的列数分别等于B,B2,B,的行数 (=1,2,p:j=1,2.,q),那么 CC2.Cg AB= . . Cpl Cp2.CgJ 其中 C,=∑A4B6=12p:j=1,2q) 例1设 「1000 「1010 0100 -1201 B -1210 -1041 1101 -1-120

2.数乘运算 对于任意数  ，有            p p p q q A A A A A A A              1 2 1 1 1 2 1 . 这就是说，两个同型矩阵 A、B ，如果按相同的分块法进行分块，那么 A 与 B 相加、减时，只需把对应位置的子块相加减；用一个数乘一个分块矩阵时，只 需用这个数乘以各子块. 3.乘法运算 最常用的是分块矩阵的乘法.设 A 为 m s 矩阵， B 为 sn 矩阵，对 A 、B 进 行分块，使得 A 的列的分法与 B 的行的分法一致，即设 A ，B 分块分块后分别为            p p pt t A A A A A A A       1 2 1 1 1 2 1 ，            t t tq q B B B B B B B       1 2 1 1 1 2 1 ， 其 中 ， Ai Ai Ait , , , 1 2  的 列 数 分 别 等 于 B j B j Btj , , , 1 2  的行数 (i 1,2,, p；j 1,2,,q) ,那么            p p p q q C C C C C C AB       1 2 1 1 1 2 1 ， 其中 ( 1,2, , 1,2, , ) 1 C A B i p j q t k ij  ik kj      ； . 例 1 设               1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 A ，                  1 1 2 0 1 0 4 1 1 2 0 1 1 0 1 0 B

求AB. 解把A、B分别进行分块 4-[医斗=[® 其中 -04- 日a60 s医a]-[44 4a+ 8 4*-B 于是 「1010] AB= -1201 -2433 -1131 4.分块矩阵的转置 设分块矩阵 A11A2. Au A= . . nAp2.Anm 则A的转置

求 AB . 解 把 A、 B 分别进行分块 , 0 1        A E E A        21 22 11 B B B E B ， 其中        0 1 1 0 E ，        1 1 1 2 A1 ，         1 2 1 0 B11 ，           1 1 1 0 B21 ，        2 0 4 1 B22 又              21 22 11 1 0 B B B E A E E AB . 1 11 21 1 22 11          A B B A B B E 而 A1B11  B21                       1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 1 2                        1 1 2 4 1 1 1 0 0 2 3 4 ，                     3 1 3 3 2 0 4 1 1 1 1 2 A1 B2 2 ， 于是                 1 1 3 1 2 4 3 3 1 2 0 1 1 0 1 0 AB . 4.分块矩阵的转置 设分块矩阵            p p pt t A A A A A A A       1 2 1 1 1 2 1 ， 则 A 的转置

414.Ai] 4= . Ai A.A 5.一类特殊的分块矩阵 分块矩阵 [40.0 A= 042.0 . 00.4 称为分块对角矩阵，其中A,是n,阶矩阵(i=1,2,.,) 对于两个阶数相同并且有相同分法的分块对角阵 「40.01 B0.0 A=040 B= 0B2.0 00.4 显然有 「4+B0. 0 A+B= 042+B2. 0 . 0 .A,+B 「A,B0. 0 AB= 0A,B2. 0 . 00.AB 分块对角阵的行列式有下述性质：A=44.A,由此性质可知，若 4≠0i=1,2,),则4≠0，并且有

           ' ' 2 ' 1 ' 1 ' 2 1 ' 1 1 ' t t pt p A A A A A A A       . 5.一类特殊的分块矩阵 分块矩阵 . 0 0 0 0 0 0 2 1              At A A A        称为分块对角矩阵，其中 Ai 是 i n 阶矩阵 (i 1,2,  ,t). 对于两个阶数相同并且有相同分法的分块对角阵              At A A A        0 0 0 0 0 0 2 1 ，              Bt B B B        0 0 0 0 0 0 2 1 . 显然有                  At Bt A B A B A B        0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 ，              AtBt A B A B AB        0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 . 分块对角阵的行列式有下述性质： A  A1 A2  At ，由此性质可知，若 A 0(i 1,2, ,t) i    ，则 A  0 ，并且有

[40. 04. 0 0 例2设 「500 A=031 021 求A. 解对A进行分块 46 其中子块 4-l4-[8 的逆矩阵分别为 卧[ 所以 0 0 1-1 例3设 「A0] D-C B 其中A、B分别是k阶可逆矩阵，C是”×k矩阵，0是k×r零矩阵，求D- 解设

                   1 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 At A A A        . 例 2 设            0 2 1 0 3 1 5 0 0 A ， 求 1 A . 解 对 A 进行分块        2 1 0 0 A A A ， 其中子块           2 1 3 1 5 , A1 A2 的逆矩阵分别为                   2 3 1 1 , 5 1 1 2 1 A1 A ， 所以                            0 2 3 0 1 1 0 0 5 1 0 0 1 2 1 1 1 A A A . 例 3 设        C B A D 0 ， 其中 A、 B 分别是 k 阶可逆矩阵，C 是 r  k 矩阵，O 是 k  r 零矩阵，求 1 D . 解 设

k 于是 -6 由上式得 AX=Ex, AX12=0, CX,+BX21=0, CX12 +BX22=E, 解得 X1=A,X2=A0=0, X21=-B-CA,X2=B, 因此 o-cr 分块对角阵是一类常见的特殊分块矩阵.实际中，还有一种常用的分块方法， 经常把矩阵按行或列来分块，使得矩阵问题就转化为向量组问题.这也是问题转 换的一种方法。 例4证明两个矩阵的和的秩不超过这两个矩阵的秩的和，即 R(A+B)≤R(A)+R(B) 证设A、B是两个m×n矩阵，用A,A2,Am及B,B2,Bm分别表 示A及B的行向量，于是A、B分块为 「47 B A= B B. 且

        21 22 1 11 12 X X X X D ， 于是 . 0 0 0 2 1 2 2 1 1 1 2                   r k E E X X X X C B A 由上式得              . 0, 0, , 12 22 11 21 12 11 r k CX BX E CX BX AX AX E 解得 , 0 0, 1 12 1 11      X A X A , , 1 22 1 1 21    X  B CA X  B 因此 . 0 1 1 1 1 1              B CA B A D 分块对角阵是一类常见的特殊分块矩阵.实际中，还有一种常用的分块方法， 经常把矩阵按行或列来分块，使得矩阵问题就转化为向量组问题.这也是问题转 换的一种方法。 例 4 证明两个矩阵的和的秩不超过这两个矩阵的秩的和，即 R(A B)  R(A)  R(B). 证 设 A、B 是两个 mn 矩阵，用 A A Am , , , 1 2  及 B B Bm , , , 1 2  分别表 示 A 及 B 的行向量，于是 A、 B 分块为                           m Bm B B B A A A A   2 1 2 1 , ， 且

「A+B A+B= 2+B, An+Bnm」 由此可以看出，A十B的行向量可以由向量组A1,A2,Am,B,B2,Bm线 性表示，因此 R(A+B)R(AA.Am,B,B2.Bm R(A4,.Am+R(B:B23.Bm =R(A)+R(B) 例5证明矩阵乘积的秩不超过各因子的秩，即 R(AB)<min R(A)<R(B) 证设 [a1a2.a.] [b1b2. A= a21a22.a2s B= b21b22.b2 . . aml dm2.ams」 bs bs2 .bm 用B,B2,B,表示B的行向量，那么B可以表成分块矩阵 「B B= B B. 于是 [aa2.a,TB 「aB,+a2B2+.+a,B AB =da dz . B = a21B,+a22B2+.+a2B . LamB+am2B2+.+am B. 这说明AB的行向量组可以由B的行向量组线性表示，所以 R(AB)≤R(B)

. 2 2 1 1                  Am Bm A B A B A B  由此可以看出， A ＋ B 的行向量可以由向量组 A A Am , , , 1 2  ，B B Bm , , , 1 2  线 性表示，因此 ( ) { , , , , , , , } R A B  R A1 A2  Am B1 B2  Bm { , , , } { , , , }  R A1 A2  Am  R B1 B2  Bm  R(A)  R(B) . 例 5 证明矩阵乘积的秩不超过各因子的秩，即 R(AB)  min{R(A)  R(B)}. 证 设              m m ms s s a a a a a a a a a A        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ，              s s sn n n b b b b b b b b b B        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ， 用 B B Bs , , , 1 2  表示 B 的行向量，那么 B 可以表成分块矩阵              Bm B B B  2 1 ， 于是                          m m ms s s s B B B a a a a a a a a a AB         2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 . 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1                       m m ms s s s s s a B a B a B a B a B a B a B a B a B     这说明 A B 的行向量组可以由 B 的行向量组线性表示，所以 R(AB)  R(B)

另一方面，用A,A2,A,表示A的列向量，那么，A表示为分块矩阵 A=[AA2.A], 于是 「bbz.bm AB=[4,A2. 4j66:.b . Lb1b2.bm [24立4立4】 这说明AB的列向量组可以由A的列向量组线性表示，所以R(AB)≤R(A) 综合以上两方面，即得 R(AB)<minR(A)<R(B); 用数学归纳法，可以把例5的结论推广到多个矩阵乘积的情形，即 R(A4.A)s min(R(A),R(A2),.R(A ))

另一方面，用 A A As , , , 1 2  表示 A 的列向量，那么， A 表示为分块矩阵   A  A1 A2  As ， 于是                s s s n n n s b b b b b b b b b AB A A A         1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2              s k kn k s k k k s k bk Ak b A b A 1 1 2 1 1  这说明 A B 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，所以 R(AB)  R(A) 综合以上两方面，即得 R(AB)  min{R(A)  R(B)}. 用数学归纳法，可以把例 5 的结论推广到多个矩阵乘积的情形，即 { } min{ ( ), ( ), ( )}. R A1A2An  R A1 R A2 R An