《线性代数》课程电子教案（C）第一章 n阶行列式 1-1 行列式的概念

第1-1节 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 行列式、余子式、代数余子式、全排列、逆序数等有关概念 重点： 三阶、n阶行列式的定义 难点： n阶行列式的定义及等价定义. 散学目的要求： (1)掌握行列式、余子式、代数余子式等概念， (2)掌握三阶、n阶行列式的定义 (3)了解行列式的等价定义. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 1.会求行列式中元素的余子式、代数余子式. 2.会用定义计算简单的行列式 参考资料： 同济大学编《线性代数》 高等教育出版社

第 1-1 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 行列式、余子式、代数余子式、全排列、逆序数等有关概念. 重点： 三阶、 n 阶行列式的定义. 难点： n 阶行列式的定义及等价定义. 教学目的要求： （1）掌握行列式、余子式、代数余子式等概念. （2）掌握三阶、 n 阶行列式的定义. （3）了解行列式的等价定义. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 1．会求行列式中元素的余子式、代数余子式. 2．会用定义计算简单的行列式. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第一章n阶行列式 行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着 广泛的应用.本章主要介绍阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式 来解一类特殊线性方程的克莱姆法则， §1n阶行列式的概念 一、行列式的应用背景及二阶、三阶行列式 行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组 ax+a22=6 (a2+a22x2=b2 中学里用的求解方法是消元（代入消元、加减消元）法.当a,42-a2421≠0时， 即 1≠a2 a21a22 亦即两个方程所表示的两条直线不平行（不重合）时，上方程组有唯一解为 41a2-a12421 k=6a1-6a aa22-a12a2 我们把解中共同的分母，称为二阶行列式的值.我们称记号 an an a21a22 为二阶行列式，它表示数值442-a,41,即 laag=aaa-a4a a21a2 行列式中横行的叫做行，纵排的叫做列，数ag(i=1,2:j=1,2)称为行列 式的元素，i为行标，j为列标 我们可以用消元法来求解三元一次方程组

第一章 n 阶行列式 行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着 广泛的应用.本章主要介绍 n 阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式 来解一类特殊线性方程的克莱姆法则. §1 n 阶行列式的概念 一、行列式的应用背景及二阶、三阶行列式 行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组        21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 中学里用的求解方法是消元（代入消元、加减消元）法.当 a11a22  a12a21  0 时， 即 22 12 21 11 a a a a  ， 亦即两个方程所表示的两条直线不平行（不重合）时，上方程组有唯一解为 ， ， 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x a a a a b a b a x       我们把解中共同的分母，称为二阶行列式的值.我们称记号 21 22 11 12 a a a a 为二阶行列式，它表示数值 a11a22  a12a21 ,即 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a   . 行列式中横行的叫做行，纵排的叫做列，数 aij （ i  1,2； j  1,2）称为行列 式的元素， i 为行标， j 为列标. 我们可以用消元法来求解三元一次方程组

a+a2x2+a3=b, a2+a22+a2g=b2 a3x1+a3x3+a33=b3 类似地，可以引进三阶行列式的概念.我们称记号 anan a an az az a31a32a3 为三阶行列式，它由三行三列共九个元素组成，表示下面数值： a1422433+a13421a32+a12a23431-a1322031-a11a2332-a124133 a11a22a33+a13a21a32+a31412a23 a21a22a23 (1-1) a31a32a33 -%1022031-411023052-433021412 三阶行列式定义的记法 法二： as d d3 as1 asa tss ds1 ds2 注：法一：在式(1.1)的右边前面带“+”的3项，用线连接起来. 法二：三条从左上到右下的斜线上3个元素乘积的项前带“+”： 三条从右上到左下的斜线上3个元素乘积的项前带“-” 类似二阶、三阶行列式的定义，我们可以利用求解四元一次方程组来引进四 阶行列式的概念.但随着方程组中未知量个数的增加，方程组的求解越来越麻烦， 这样来引进阶数较高的行列式的概念是不可行的.下面来引进n阶行列式的定 义. 二、n阶行列式的定义 1.n阶行列式的记号由n2个数a(亿，j=1,2,.,m)排成n行n列 21a2.a2n . (1-2) anan2.am

              , , , 31 1 32 2 33 3 21 1 22 2 23 2 11 1 12 2 13 1 a x a x a b a x a x a b a x a x a b 类似地，可以引进三阶行列式的概念. 我们称记号 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 为三阶行列式，它由三行三列共九个元素组成，表示下面数值： a1 1a2 2a3 3  a1 3a2 1a3 2  a1 2a2 3a3 1 a1 3a2 2a3 1 a1 1a2 3a3 2 a1 2a2 1a3 3 即  31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 3 3 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 2 1 3 2 3 1 1 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a      （1-1） 三阶行列式定义的记法 法一： 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 法二： 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a 注：法一：在式(1.1)的右边前面带“+”的 3 项，用线连接起来. 法二：三条从左上到右下的斜线上 3 个元素乘积的项前带“+”； 三条从右上到左下的斜线上 3 个元素乘积的项前带“-”. 类似二阶、三阶行列式的定义，我们可以利用求解四元一次方程组来引进四 阶行列式的概念.但随着方程组中未知量个数的增加，方程组的求解越来越麻烦， 这样来引进阶数较高的行列式的概念是不可行的. 下面来引进 n 阶行列式的定 义. 二、 n 阶行列式的定义 1. n 阶行列式的记号 由 2 n 个数 a (i, j 1,2, , n) ij   排成 n 行 n 列 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a        (1-2)

称为n阶行列式（筒记为△(am).行列式中横排称为行，纵排称为列，数a (亿，j=1,2,.,)称为行列式的元素，i称为行标，广称为列标 为了明确(1-2)式的含义，我们先来研究n阶行列式中元素am的余子式、 代数余子式. 2.余子式与代数余子式 定义1把n阶行列式(1-2)中元素a,所在的第i行和第j列元素划去后 留下的n-1阶行列式称为元素a的余子式，记作M,即 a1.aajl.an . . M= a-1.a-l-la-jH.a-ln a+l·a-l-1a+jH.a4 . an1.an-l 注意：元素an的余子式与a的取值无关 并称 A=(-1)M (1-3) 为元素a的代数余子式。 例如，对于三阶行列式 anan a3 a31a32a33 第一行元素的代数余子式分别为 41=(←1)a2a2 ,42=(←1281a4,=-10a a32a33 a31 a33 a31a32 利用以上结果可将(1-1)式化简为

称为 n 阶行列式(简记为 ( )  aij ).行列式中横排称为行，纵排称为列，数 ij a (i, j 1,2,  ,n) 称为行列式的元素， i 称为行标， j 称为列标. 为了明确（1-2）式的含义，我们先来研究 n 阶行列式中元素 ij a 的余子式、 代数余子式. 2.余子式与代数余子式 定义 1 把 n 阶行列式（1-2）中元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后 留下的 n -1 阶行列式称为元素 aij 的余子式，记作 Mij ，即 n n j n j n n i i j i j i n i i j i j i n j j n ij a a a a a a a a a a a a a a a a M                                      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 注意：元素 aij 的余子式与 aij 的取值无关. 并称 ij i j Aij M   (1) （1-3） 为元素 ij a 的代数余子式. 例如，对于三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 第一行元素的代数余子式分别为 32 33 1 1 22 23 11 ( 1) a a a a A    , 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 2 ( 1) , ( 1) a a a a A a a a a A       . 利用以上结果可将（1-1）式化简为

a11a12a3 a21a22a23=a11A1+a12A12+a13A13 a31a32a33 此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素41，a2a13分别与所对应的 代数余子式4,42,4，乘积的和.这与(11)式的定义是一致的，这种利用低阶 行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出n阶行列 式(1-2)的归纳法定义 3.行列式的归纳法定义 定义2n阶行列式(1-2)是由n2个元素a(亿，j=1,2,.,n)所决定的一个 数 当n=2时，定义 a1a2 =a1422-012022 a21a22 假设n-1阶行列式已经定义，则定义n阶行列式 a1a12.an a21a22 . =a1141+a1242+.+a1nAm (1-4) am an2. 其中A,=1,2,n)是n阶行列式中元素4（=1,2，m)的代数余子式 思考：归纳法定义中是用第一行元素分别与其代数余子式乘积之和来定义 的，是否可以用其它行的元素来定义？是否可以用某一列的元素来定义？ 4.用定义计算行列式 例1求行列式 2-13 2 412 的值

. 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a A a A a A a a a a a a a a a    此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素 11 12, 13 a , a a 分别与所对应的 代数余子式 11 12 13 A , A , A 乘积的和.这与（1-1）式的定义是一致的，这种利用低阶 行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出 n 阶行列 式（1-2）的归纳法定义. 3.行列式的归纳法定义 定义 2 n 阶行列式（1-2）是由 2 n 个元素 a (i, j 1,2, , n) ij   所决定的一个 数. 当 n =2 时，定义 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 a a - a a a a a a  假设 n -1 阶行列式已经定义，则定义 n 阶行列式 n n n n n n n n a A a A a A a a a a a a a a a 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1             （1-4） 其中 ( 1,2, , ) A1 j j   n 是 n 阶行列式中元素 ( 1,2, , ) a1 j j   n 的代数余子式. 思考：归纳法定义中是用第一行元素分别与其代数余子式乘积之和来定义 的，是否可以用其它行的元素来定义？是否可以用某一列的元素来定义？ 4. 用定义计算行列式 例 1 求行列式 4 1 2 1 2 1 2 1 3   的值

原2x呢exr3xe =2(4-1)+(-2-4)+3(-1-8)=-27. 例2用行列式的定义计算 a!0.0 D= . an an2.anm 这个行列式称为下三角行列式，它的特点是当i<j时， ay=0i,j=1,2,.,n). 解由行列式的定义，得 D=a1A1+0A2+.+0A 其中A,是一个n-1阶下三角行列式，由定义 a30.0 4=a0 anm3an4.an 依次类推，不难求出 D=a1a22.amn 即，下三角行列式等于主对角线上的诸元素的乘积 作为下三角行列式的特例，主对角行列式 20.0 03. . =123.1 000 例3证明

解：原式= 4 1 1 2 3 ( 1) 4 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2 ( 1) 1 2 1 2 1 3               =2（4-1）+（-2-4）+3（-1-8）=-27. 例 2 用行列式的定义计算 n n n n a a a a a a D         1 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 这个行列式称为下三角行列式，它的特点是当 i  j 时, a 0(i, j 1,2, , n) ij    . 解 由行列式的定义，得 D a11A11 0A12  0A1n     其中 A11 是一个 n -1 阶下三角行列式，由定义 n n n n a a a a a a A a         3 4 4 3 4 4 3 3 1 1 2 2 0 0 0 依次类推，不难求出 D a a ann   11 22 . 即,下三角行列式等于主对角线上的诸元素的乘积. 作为下三角行列式的特例，主对角行列式 n n               1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 . 例 3 证明

|00.0an D= 00.d2 dan=(-lm-w2aa2.aa . am an2 证由行列式的定义 0.0a2n D=(-l)"a 0.a3m-la3m-l . . anl.anr2aml |0. 0a3m-2 0 =-(-l）waa. .a4m-3a4m-2 . anl.an2an-2 ==(←1）(-1).(-1)2an4.a1 =-l）m-anaa.aa 特别地，次对角行列式 0.0 0 .元20 . . =（-1)-2222.元n . 例4设 a1.ak0. 0 . . D =a1. a0.0 .Cth. . .catb.bn

( 1) . 0 0 0 0 0 1 2( 1) 1 ( 1)/ 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a D                 证 由行列式的定义 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1 1 0 0 0 ( 1)                n n n n n n n n n n a a a a a a D a 1 2 2 4 3 4 2 3 2 1 2 1 1 1 ( 1) 0 0 0 ( 1) ( 1)                    n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a 1 2 1 1 1 1 ( 1) 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n        a a   a     1 2 1 1 ( 1)/ 2 ( 1) n n n n n   a a   a  特别地，次对角行列式 n n n n                    1 2 2 ( 1) / 2 1 ( 1) 0 0 0 0 例 4 设 n n k n n n k n k kk k c c b b c c b b a a a a D                      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

a1. b1. bin D= D2= . . an.anm b.bn 则D=DD2 注意：行列式D的特点，右上角那块元素必须全为零.否则，不能利用此结 论计算 行列式的定义表行明，n阶列式的定义是通过n个n-1阶行列式的代数和 来定义的，而每一个n-1阶行列式又可用n-1个n-2阶行列式的代数和来表 示，如此进行下去，最后可将n阶行列式表示成n!项的代数和. 为给出行列式这一形式的完全表达式，先介绍全排列与逆序数的概念。 全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做n个元素的全排列. 标准次序：在n个自然数L,2,n组成的全排列中，规定各元素间有一个 标准次序，按从小到大排列的次序为标准次序」 逆序：于是，在任一排列P,P2.Pn中，当某两个数的先后次序与标准次序 不同时，就说有一个逆序。 逆序数：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，记作 t(pP2.pn).即 t(P,P2Pn)=(p2前面比P2大的数的个数) +（P3前面比P大的数的个数) +. +(Pn前面比Pn大的数的个数)， 奇（偶）排列：如果t(pP2Pn)是偶数，称排列p乃P2.Pn为偶数列： 如果t(PP2.Pn)是奇数，称排列pP2.Pn为奇数列 举例分析一下三阶行列式的定义，得到：三阶行列式可以表示为6(=3！) 项的代数和，每一项前所带有的符号，当元素之间按照行标排列时，列标排列是

n n n n n n n n b b b b D a a a a D             1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 , 则 D D1 D2   . 注意：行列式 D 的特点，右上角那块元素必须全为零.否则，不能利用此结 论计算。 行列式的定义表行明， n 阶列式的定义是通过 n 个 n -1 阶行列式的代数和 来定义的，而每一个 n -1 阶行列式又可用 n -1 个 n -2 阶行列式的代数和来表 示.，如此进行下去，最后可将 n 阶行列式表示成 n ！项的代数和. 为给出行列式这一形式的完全表达式，先介绍全排列与逆序数的概念. 全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做 n 个元素的全排列. 标准次序：在 n 个自然数 1,2,  , n 组成的全排列中，规定各元素间有一个 标准次序,按从小到大排列的次序为标准次序. 逆序:于是，在任一排列 p p pn  1 2 中，当某两个数的先后次序与标准次序 不同时，就说有一个逆序. 逆 序数 ：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，记作 ( ) p1 p2 pn   .即 ( . ) p1 p2 pn  =( p2 前面比 p2 大的数的个数) +（ 3 p 前面比 3 p 大的数的个数） +. +（ n p 前面比 n p 大的数的个数）. 奇(偶)排列：如果 ( . ) p1 p2 pn  是偶数，称排列 p p pn . 1 2 为偶数列； 如果 ( . ) p1 p2 pn  是奇数，称排列 p p pn . 1 2 为奇数列. 举例分析一下三阶行列式的定义，得到：三阶行列式可以表示为 6（=3！） 项的代数和，每一项前所带有的符号，当元素之间按照行标排列时，列标排列是

偶排列时，其前面带“+”号：列标排列是奇排列时，其前面带“_”号。由此推 出n阶行列式的另一种定义形式。 定理1n阶行列式可表示成如下形式 an a2.an D=a424 =∑（-1)rw'dipdzpdp Pupz-Pa 其中PP2Pn为自然数1,2，n的一个排列， ∑表示对n个自然数 L,2,.,n所有排列求和。 证明用数学归纳法 当n=1时，定理显然成立. 假定定理对n-1阶行列式成立，对于n阶行列式，由行列式定义 D=∑a,4,=∑-IaM =1 由于M,是n-1阶的行列式，根据归纳假设，得 M,=∑(-)-'ana2aaR PPa-Pe 其中PP2.Pn是1,2，j-1,广+1，.，n的一个排列 于是 D=∑-l)a,My=∑(-l)dpdp Ba.Pa =(-1)(-1)(Pd dzm.dp iPz-Pa =∑(-l）-Hla,ap2apm p2.Pa 又因 t(pP2.pn)=t(pP3.Pn）+p-1

偶排列时，其前面带“+”号；列标排列是奇排列时，其前面带“-”号。由此推 出 n 阶行列式的另一种定义形式。 定理 1 n 阶行列式可表示成如下形式 n n nn n n a a a a a a a a a D . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1  n n n p n p p p p p p p p ( 1) a a .a 2 1 2 1 1 2 2 . 1 ( . )     , 其中 p p pn . 1 2 为自然数 1, 2,  ,n 的一个排列 ，  p p pn . 1 2 表示对 n 个自然数 1, 2,  ,n 所有排列求和. 证明 用数学归纳法 当 n =1 时，定理显然成立. 假 定 定理 对 n -1 阶 行列 式 成立 ,对 于 n 阶 行 列式 ，由 行 列式 定 义    n j j A j D a 1 1 1    n j j j j a M 1 1 1 1 ( 1) 由于 M1 j 是 n -1 阶的行列式，根据归纳假设，得 M1 j  n n n p n p p p p p p p p ( 1) a a .a 2 1 2 1 1 2 2 . 1 ( . )    . 其中 p p pn . 1 2 是 1，2，.， j -1, j +1,., n 的一个排列 于是      n j j j j D a M 1 1 1 1 ( 1) p npn p p p p p a a n n ( 1) . 2 2 1 2 2 . ( . )    p npn jp p j j p p a a a n n ( 1) ( 1) . 2 2 . 1 1 ( . ) 2 2       p npn jp p j p p j a a a n n ( 1) . 2 2 . 1 ( . ) (1 ) 2 2       又因 ( . ) p1 p2 pn  = ( . ) p2 p3 pn  + 1 p -1

（-1)A-n》=(-)HU-) 记P为j,得 D=∑（-l)rnA'anap2an PP 定理1说明：n阶行列式是①n!项的代数和：②每一项是位于不同行、不 同列的个元素的乘积的代数和：③当行标按从小到大的标准次序排列时，若列 标排列为偶排列，该项前面取正号，若列标排列为奇排列，该项前面取负号。 思考：在定理1说明③中，当列标按从小到大的标准次序排列时，会怎么样 呢？ 由定理可知，三阶行列式 a11a12a13 a2122a23= a11422a33+a13421a32+a31a12423 a31a32a3 -a13022a31-a11023032-a33021a12 -∑（-l)d4n4n A内内 -∑（-1)0a0a142a3 hg:9 定理中虽然给出了阶行列式的完全表达式，但在具体应用定理解决问题是比较 困难 本节最后请同学们思考：在定理1说明③中，行列式的每一项中，当行标或 列标按从小到大的标准次序排列时，其前面的符号与列标或行标排列的奇偶性有 关。如果行标或列标均不按照标准次序排列，其结果会怎样呢？

而   ( . )(1 ) 2 ( 1) p p j n  ( . ) ( 1) 2 ( 1)    p p j n  记 1 p 为 j ，得 n n n p n p p p p p p p D ( 1) a a2 2 .a . 1 ( . ) 2 1 1 2     . 定理 1 说明： n 阶行列式是① n !项的代数和；②每一项是位于不同行、不 同列 n 的个元素的乘积的代数和；③当行标按从小到大的标准次序排列时，若列 标排列为偶排列，该项前面取正号，若列标排列为奇排列，该项前面取负号。 思考：在定理 1 说明③中，当列标按从小到大的标准次序排列时，会怎么样 呢？ 由定理可知，三阶行列式  31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 3 3 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 2 1 3 2 3 1 1 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a       2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 ( ) ( 1) p p p p p p p p p   a a a   1 2 3 ( ) 2 3 1 2 3 1 1 2 3 ( 1) q q q q q q q q q   a a a  定理中虽然给出了 n 阶行列式的完全表达式，但在具体应用定理解决问题是比较 困难. 本节最后请同学们思考：在定理 1 说明③中，行列式的每一项中，当行标或 列标按从小到大的标准次序排列时，其前面的符号与列标或行标排列的奇偶性有 关。如果行标或列标均不按照标准次序排列，其结果会怎样呢？