《线性代数》课程步进教程（C）第二章 矩阵与向量（典型例题）

第二章矩阵与向量 典型例题 例题2-1证明a+a,%,+a,4+a,线性无关的充分必要条件是 a,4,4,线性无关 证明充分性：若线性a1,a,4,无关，令 ka+%)+k(a2+)+k(a+a)=0, 即 k+k)2+k+k%2+k2+k)2=0 由a,a,a,线性无关得 k+k3=0 {k+k2=0 k2+k=0 该方程组的系数行列式 10 D=110=2≠0 011 由克莱姆法则知，上述方程组仅有零解k=k,=k=0,因此 a+a,a%+a,%+4线性无关. 必要性：若a,+42,%+,a,+%线性无关，显然 a1+,C+Q3,C3+C 可由a,a2,a,线性表示，从而 R(a+a2,a:+aa+a)s R(a,a2,a3). 又a+a,a:+a,a,+a)=3,而a,a,a,不超过3，故a,a,a,的秩等

第二章 矩阵与向量 典型例题 例题 2-1 证明 1 2 2 3 3 1   ,  ,  线性无关的充分必要条件是 1 2 3  , , 线性无关. 证明 充分性: 若线性 1 2 3  , , 无关，令       1 1 2  2 2 3  3 3 1 k k k =0, 即 k1  k3 1 k1  k2 2 k2  k3 3  0 由 1 2 3  , , 线性无关得            0 0 0 2 3 1 2 1 3 k k k k k k 该方程组的系数行列式 D= 2 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1   由 克莱姆 法则 知，上 述方程 组仅有 零解 k1  k2  k3  0 ，因此 1 2 2 3 3 1   ,  ,  线性无关. 必要性: 若 1 2 2 3 3 1   ,  ,  线性无关，显然 1 2 2 3 3 1   ,  ,  可由 1 2 3  , , 线性表示，从而 R(1  2 , 2 3 ,3 1 )  ( , , ) R 1  2  3 . 又 R(1  2 , 2 3 ,3 1 )  3，而 1 2 3  , , 不超过 3，故 1 2 3  , , 的秩等

于3，所以a,a,a,线性无关. 例题2-2证明下列向量组线性无关， a1=(a41,a21,a31,aa-m,aai) a2=(0,a2,a32,aa-l2,an2） an=(0,0,0,0,am) 其中，a,≠0，i,j月l,2,.，n 证明设有k,k2,n,使k%+k2++k0n=0 免 a 0 a 0 0 0 k +k +k. aniJ 也就是 [auk+a2k2+.+auk=0 ak+azk2+.+a2nkn=0 ++.+a3k=0 ank++.+amk=0 由于该方程组的系数行列式为 410,0,0 a21,a22,00 D=a =a1a2.0nm≠0 anl,an2,an3.am 故该方程组仅有零解k=k2=.=k。=0,从而向量组4，凸，a,线性无 关

于 3 ，所以 1 2 3  , , 线性无关. 例题 2-2 证明下列向量组线性无关. (0,0,0,.,0, ) . (0, , ,., , ) ( , , ,., , ) 2 2 2 3 2 ( 1)2 2 1 1 1 2 1 3 1 ( 1)1 1 n n n n n n n a a a a a a a a a a         其中， aij  0，i，j=1，2，.，n . 证明 设有 n k , k ,., k 1 2 , 使 k11  k22  knn  0 即                                                                                             0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . 0 . . . 2 2 3 2 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1 1 n n n n a k a a a k a a a a k 也就是                          . 0 . . 0 . 0 . 0 1 1 2 2 3 1 1 3 2 2 3 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n n n a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k 由于该方程组的系数行列式为 D= . 0 , , . . , , .0 , ,0,.,0 ,0 ,0 ,.0 1 1 2 2 1 2 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 1 1  n n  n n n n n a a a a a a a a a a a a a 故该方程组仅有零解 k1  k2  .  kn  0 ，从而向量组   n , , , 1 2  线性无 关

例题2-3设4，a,.,a是互不相同的数 a,=(1,a,a2a,0=12,r）. 试证明a,a,.,a,线性无关 证明令 「111.11 a1a2a3.a, a,2 a22 0 aa2a3.a,J 因为 4-a,-a,)≠0，R0=r, 从而a,=(,a,a,2,a-i=l,2r)线性无关，即a,.,a,线性无关。 例题2-4设向量组4，a2,.,a,和B,B2,.,B分别为 a1=(a11,a,aj,a1n） a3=(a21,a2i,a3j,a2m a,=(a1,au3,0g,anm） B=(a1,a,ay+kau,a.） B2=(a21,a2,a2y+ka2.,a2n） ,=(a1,a,ay+ka,an】 试证4,4，心，线性无关的充分必要条件是R,B,B线性无关 证明必要性：设存在k,k,.,k,使得 kB+k3B+.+kB=0, 即

例题 2-3 设   r , , , 1 2  是互不相同的数 (1, , ,., )( 1,2,., ) 2 1 a a a i r n i  i i i    . 试证明   r , , , 1 2  线性无关. 证明 令 A=                   1 1 3 1 2 1 1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 3 . . . . . . . . 1 1 1 . 1 r r r r r r r a a a a a a a a a a a a 因为        j i r A ai a j 1 ( ) 0, R(A)  r， 从而 (1, , ,., )( 1,2,., ) 2 1 a a a i r n i  i i i    线性无关，即   r , , , 1 2  线性无关. 例题 2-4 设向量组   s , , , 1 2  和    s , , , 1 2  分别为 ( ,., ,., ,., ) . ( ,., ,., ,., ) ( ,., ,., ,., ) ( ,., ,., ,., ) . ( ,., ,., ,., ) ( ,., ,., ,., ) 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 s s si sj si sn i j i n i j i n s s si sj sn i j n i j n a a a k a a a a a k a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a                试证   s , , , 1 2  线性无关的充分必要条件是    s , , , 1 2  线性无关. 证明 必要性：设存在 1 2 , , ,  s k k k ，使得 k11  k22  ks s  0， 即

kian++.+k,a =0 k14.+k2a2+.+k,a=0 k(a+ka)+.+k,(a+a)=0 +kzdzn +.+k,a =0 因为 (a,+a)+k(a+a,)++,+ag)=a,+k0y+.+k,a,)+au+ka,+n+k,a)=0 而ka.+k2a,++k,a=0所以ka,+k3a2y++kag=0 于是 ka1+k2a21+.+k,a=0 kau+ka++k,a。=0 k ay +k2ms+k,ay =0 kam+k2a2m+.+k,a=0 即k%+k42++k,a,=0. 因为a,a,.,a,线性无关，所以只有零解k=k=.=k=0.故 B,B,B也线性无关 充分性由于 k月+kB2+.+kB,=0 k4+kC2+.+k,g,=0 以及上述两个方程组，因为B,B,B,线性无关，所以仅有 k=k2=.=k,=0。由最后一个方程组，故4,42，线性无关 例题2-5试证明：若向量B可由a%,a,a,线性表出，则表示

                              . 0 . ( ) . ( ) 0 . . 0 . . 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 sn s si s k a k a k a k a k a k a a k a k a k a k a k a k a n n s j i s sj i i s s 因为 ( ) ( ) . ( ) ( . ) ( . ) 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1                s sj s k a j k a i k a j k a i ks a asj k a j k a j ksa k k a i k a i ksa 而 k1a1i  k2 a2i . ks asi  0 所以 k1a1 j  k2 a2 j . ks asj  0 于是                             . 0 . . 0 . . 0 . . 0 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 sn j si s k a k a k a k a k k a k a k a k a k a k a k a n n s j a s sj i i s s 即 k11  k22  kss  0. 因为   s , , , 1 2  线性无关，所以只有零解 k1  k2  .  ks  0 .故    s , , , 1 2  也线性无关 充分性 由于 k11  k22  ks s  0 k11  k22  kss  0 以 及上 述两个 方程组 ，因 为    s , , , 1 2  线性 无关， 所以 仅有 k1  k2  .  ks  0 。由最后一个方程组，故   s , , , 1 2  线性无关. 例题 2-5 试证明：若向量  可由   s , , , 1 2  线性表出，则表示

法唯一的充分必要条件4，a,.,a是线性无关 证明必要性用反证法若4，a,线性相关，则由不全为 零的数k,kk,使得 ka+k2西+.+k,ag=0. 由B可由a,a,.,a,线性表示，设表达式为B=la+l,4,+.+1,a 于是有B=(k+1)a+(k2+12)z,+.+(k.+1,a,. 由于k1,k2k不全为零，故k+4,k2+2k,+1,与，2，l是两组 不同的数，即B有两种不同的线性表示法，与题设矛盾，故，2，a, 线性无关. 充分性用反证法，设B有两种表达式 B=k%1+k242+.+k, B=la+lk4+.+l% 于是有(k-1☑1+(k-2)a+.+(k,-,a,=0,因为a,a,g,线性无 关，故k,=1,1=12,. 例题26设a,%,.,a,线性无关，并且有 试证B,B,B.线性无关的充要条件是 a11a12.a. . aa2. 证明设存在S个常数x1,x2,x,满足x月+x2B,++x,B=0, 即 x(a11+a,a2++aa,)+x2(a211+.+a2,a,)++x,(a1a1+.+aa,)=0 也就是

法唯一的充分必要条件   s , , , 1 2  是线性无关. 证明 必要性 用反证法 若   s , , , 1 2  线性相关，则由不全为 零的数 s k , k ,., k 1 2 ，使得 k11  k22  kss  0. 由  可由   s , , , 1 2  线性表示，设表达式为 s s   l 11 l 22 l  于是有 s s s   (k1  l 1 )1  (k2  l 2 )2 . (k  l ) . 由于 s k , k ,., k 1 2 不全为零，故 s s k  l ,k  l ,.k  l 1 1 2 2 与 s l ,l ,.,l 1 2 是两组 不同的数，即  有两种不同的线性表示法，与题设矛盾，故   s , , , 1 2  线性无关. 充分性 用反证法，设  有两种表达式  = s s k11  k2 2 . k  s s   l 11 l 22 l  于是有 (k1 l 1 )1  (k2 l 2 )2 . (ks l s ) s  0 ,因为   s , , , 1 2  线性无 关，故 k l (i 1,2,.,s) i  i  . 例题 2-6 设   s , , , 1 2  线性无关，并且有 试证    s , , , 1 2  线性无关的充要条件是 0 . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  ss s s a s s a a a a a a a a 证明 设存在 s 个常数 s x , x ,., x 1 2 ,满足 x11  x2 2 . xs s  0 , 即 x1 (a1 11 a1 2 2 . a1s s )  x2 (a2 11 . a2s s ) . xs (as11 . as s s )  0 也就是

(a+a22++a1d)a1+(a2+a22++a2x,a+(a+a2x2+.+aw,a,=0 于是有 a1+a22++a,x,=0 a12x1+a22x2++a2x,=0 a.x1+a2x3++ax,=0 充分性因为 a11a2.a. aiaa.an 而 aa12.a D=D=d3 ds d 因此方程①只有零解，即x=x2==x,=0,故线性无关 必要性设R,B,B线性无关，则方程组①只有零解。而① la1a2.a. 只有零解的充要条件是D!a:.a±0 a1a2.n 即 ala12.as D'=D=da. a1a2 例题2-7设向量组 a%1=(1,0,0,12a2=(0,10,-1).a3=(0,0,1-10.a4=(2,-1,3,0)

(a1 1x1  a2 1x2 . as1 xs )1  (a1 2 x1  a2 2 x2 . as2 xs ) 2 . (a1s x1  a2s x2 . as s xs ) s  0 于是有                    . 0 . . 0 . 0 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 s s ss s s s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x 充分性 因为 D= 0 . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  ss s s a s s a a a a a a a a 而  ` D D= 0 . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  ss s s a s s a a a a a a a a 因此方程① 只有零解，即 x1  x2  .  xs  0 ，故 线性无关 必要性 设    s , , , 1 2  线性无关，则方程组①只有零解。而① 只有零解的充要条件是 D= 0 . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  ss s s a s s a a a a a a a a 即  ` D D= 0 . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  ss s s a s s a a a a a a a a . 例题 2-7 设向量组 (1,0,0,1), 1  (0,1,0, 1),  2   (0,0,1, 1), 3   (2, 1,3,0), 4  

试证明4，4，是一个极大无关组，并将第四个向量由此极大无关组 线性表示 解先证明a,a,a,线性无关，设ka+ka+ka,=0, [I[o1[o1[ 1 0* 00 1-1-10 也就是 k=0 k2=0 k=0 k-k2-k3=0 该方程仅有零解k=k=k=0,因此a,2,a,线性无关. 下证a,a2,4是极大无关组，只须证明a4,42,a,a线性相关即 可，由于 [10021 「1002 (a4,a2,a,a) 010-1 010-1 0013 0013 1-1-10 0-1-1-2 「10021 「10021 010-1 010-1 10013 0013 00-1-3 0000 故a,a2,a,a的秩为3，从而4，a2,a为极大无关组. 设有a4=1,a,+l2a2+l,a3 即

试证明 1 2 3  , , 是一个极大无关组，并将第四个向量由此极大无关组 线性表示. 解 先证明 1 2 3  , , 线性无关，设 k11  k22  k33  0, 即                                                      0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 2 3 k k k 也就是              0 0 0 0 1 2 3 3 2 1 k k k k k k 该方程仅有零解 k1  k2  k3  0，因此 1 2 3  , , 线性无关. 下证 1 2 3  , , 是极大无关组，只须证明 1 2 3 4  , , , 线性相关即 可，由于 ( 1 2 3 4  , , , )=                1 1 1 0 0 0 1 3 0 1 0 1 1 0 0 2                    0 1 1 2 0 0 1 3 0 1 0 1 1 0 0 2 4 1 r r                   0 0 1 3 0 0 1 3 0 1 0 1 1 0 0 2 4 2 r r                 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 0 1 1 0 0 2 4 3 r r 故 1 2 3 4  , , , 的秩为 3，从而 1 2 3  , , 为极大无关组. 设有  4 11 22 33  l  l  l 即

于是得 1=2 1=-1 1=3 4-12-13=0 解得1，=2,12=-11=3，从而a4=2a,-4-3a 例题2-8求向量组 a1=(1,4,10),a2=(2,1-1,-3),a43=1,0,-3,-1),a4=(0,2,-6,3) 的秩及一个最大无关组。 解以4，凸2，a,a,为列向量得矩阵A,对A施初等变换得 「12101「12101 「1210 41025-4n0-7-42 4=i-1-3-60-3-4-6 5240-1414 0-3-4-6 [0-3-13」0-3-13J 0-3-13 「12101 「12101 6-0-1414 之00-i16-48 8。 00-13-39 0000 于是，向量组%，4，a,a4 的秩是3，且a,a,%是一个极大无关组 例题29设矩阵 「1-2-1021 4 26 -6 A三 2 -1023 3 333 4

                                                      1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 3 1 2 1 2 3 l l l 于是得               0 3 1 2 1 2 3 3 2 1 l l l l l l 解得 l 1  2,l 2  1,l 3  3, 从而 4  21  2  33 . 例题 2-8 求向量组 (1,4,1,0) 1  , (2,1, 1, 3) 2    , (1,0, 3, 1) 3    , (0,2, 6,3)  4   的秩及一个最大无关组。 解 以 1 2 3 4  , , , 为列向量得矩阵 A ，对 A 施初等变换得 A                   0 3 1 3 1 1 3 6 4 1 0 2 1 2 1 0                       0 3 1 3 0 3 4 6 0 7 4 2 1 2 1 0 2 1 3 1 r 4r r r                    0 3 1 3 0 3 4 6 0 1 4 14 1 2 1 0 2 2 3 r r                     0 0 13 39 0 0 16 48 0 1 4 14 1 2 1 0 3 2 4 2 3 3 r r r r                  0 0 0 0 0 0 16 48 0 1 4 14 1 2 1 0 4 1 6 3 r 1 3/ r 于是，向量组 1 2 3 4  , , , 的秩是 3，且 1 2 3  , , 是一个极大无关组. 例题 2-9 设矩阵                   3 3 3 3 4 2 1 0 2 3 2 4 2 6 6 1 2 1 0 2 A

求A的秩 解对A施行初等变换： 「1-2-10211-2-102] 30006-2 -n0322 1 20g2?20.062 41 [0963-2 000-3 [1-2-1021 9 0006-2 00000 所以R(A)=3

求 A 的秩. 解 对 A 施行初等变换：                      0 9 6 3 2 0 3 2 2 1 0 0 0 6 2 1 2 1 0 2 3 1 2 1 4 1 2 3 r r r r r r A                     0 0 0 3 1 0 0 0 6 2 0 3 2 2 1 1 2 1 0 2 4 3 2 3 r 3r r r                   0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 0 3 2 2 1 1 2 1 0 2 4 3 r 1/ 2r 所以 R(A)  3