《高等数学》课程教学资源（PPT课件）7.5 可降阶的高阶微分方程

第五节可降阶的高阶微分方程 一、n=fx)型的微分方程 二、y'=x,y)型的微分方程 三、y=y,y)型的微分方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第五节 可降阶的高阶微分方程 一、y (n)=f (x)型的微分方程 二、y=f(x y)型的微分方程 三、y=f(y y)型的微分方程

山东农业大 主进 方本堂 一、ym=fx)型的微分方程 方程的解法 积分n次 y(-D=[f(x)dx+C,y(-2)=[[[f(x)dx+Cildx+C2,. 例1求微分方程y'=e2x-cosx的通解 解对所给方程接连积分三次，得 y-e-sm+G, 2x+cosx+Cx+C2, 4 y-gx+jC+Cx+C3 这就是所给方程的通解

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2 3 2 1 2 2 1 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + +  一、y (n)=f (x)型的微分方程 方程的解法 积分n次 1 ( 1) y f (x)dx C n = +  −  1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + +   −     1 ( 1) y f (x)dx C n = +  −  1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + +   −     1 ( 1) y f (x)dx C n = +  −  1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + +   −     解 对所给方程接连积分三次得 例1 求微分方程y=e 2x -cos x 的通解 1 2 sin 2 1 y e x C x  = − +  1 2 2 cos 4 1 y e x C x C x  = + + +  这就是所给方程的通解

例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线 运动，设力F仅是时间t的函数：F=F().在开始时刻 t=0时F(0)=F。,随着时间的增大，此力F均匀地减 小，直到t=T时F(T=0.如果开始时质点在原点，且 初初速度为0，求质点的运动规律 解据题意有 F)-(- F m F(1 =0=0, d d1=0=0 T 对方程两边积分，得

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解 据题意有 t F o T F0 F = 0 (1 ) t F T = − (1 ) 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 初初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得

主 -4- )+C dt i m 2T dx 利用初始条件 -0=0得G=0,于是 dx _Fo.(t- 2 dt m T 两边再积分得x= 0 267J+ 再利用x:=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为 2m

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x = − + 利用初始条件 0, 得C1 = 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x = − 两边再积分得 2 2 3 0 ) 2 6 ( C T t t m F x = − + 再利用 0, 得 C2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x = −

二、y”=f(x,y)型的微分方程 设y'=p(x),则y”=p,原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为 p=0(x,C) 则得 y'=p(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=∫p(x,C1)dx+C2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 y  = f (x, y ) 型的微分方程 设 y  = p(x) , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y  = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y =   (x,C ) x +C 二

主计 苏本堂 (1+x2)y"=2xy 例3.求解 yx=0=1,yx=0=3 解设y'=p(x),则y”=p',代入方程得 (1+x2)p'-2xp分离变量 dp 2xdx p(1+x2) 积分得lnp=ln(1+x2)+lnC,即p=C1(1+x2) 利用yx=0=3,得C1=3,于是有y=3(1+x2) 两端再积分得y=x3+3x+C2 利用yx=0=1,得C2=1,因此所求特解为 y=x3+3x+1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 求解 (1+ x )y  = 2xy  2 1, y x =0 = 3 y  x =0 = 解 代入方程得 (1 x )p 2xp 2 +  = 分离变量 积分得 2 1 ln ln (1 ) ln , p x C = + + 3 , 利用 y  x =0 = 3, 得 C1 = 于是有 3(1 ) 2 y  = + x 两端再积分得 2 3 y = x + 3x +C 利用 1, y x =0 = 1, 得 C2 = 3 1 3 y = x + x + 因此所求特解为

的2 三、y”=f(y,y型的微分方程 令y=p以则y”= dx dy dx 故方程化为 p=f(y.p) 8 设其通解为p=p(y,C1),即得 y'=e(y,C) 分离变量后积分，得原方程的通解 ∫d )=x+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 三、 y  = f (y, y ) 型的微分方程 令 y  = p( y), x p y d d 则  = x y y p d d d d =  故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p= y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解

主讲 苏本堂 例4求解yy”-y2=0. 解设y=p),则y'=dP-dpd少 dp dx dydx 代入方程得yPdy -p'=0,即dp-dy 两端积分得lnp=lny+lnCi,即p=Cy, ,y'=Cy(一阶线性齐次方程) 故所求通解为 y-C2eCix

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4 求解 代入方程得 两端积分得 ln ln ln , C1 p = y + , 1 即 p = C y (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解 x p y d d 则  = x y y p d d d d = y p p d d =

-e2y=0 例5解初值问题 x=0=0,yx=0=1 解令y=p(,则y=Pd nd卫.代入方程得 pdp=e2y dy 积分得 2p2=ze2+C 利用初始条件，得C1=0,根据p=0=yx=0=1>0,得 dy=p=ex d 积分得 -ey=x+C2,再由yx=0=0,得C2=-1 故所求特解为 1-eY=x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5 解初值问题 解 令    0 2  − = y y e 0 , y x =0 = 1 y  x =0 = y  = p( y), , d d y p 则 y  = p 代入方程得 积分得 1 2 2 2 1 2 1 p e C y = + 利用初始条件, 1 0, 0, p y=0=y  x=0 =  得C1 = 根据 y p e x y = = d d 积分得 , C2 e x y − = + − 0, 再由y x=0 = 得C2 = −1 故所求特解为 e x y − = − 1 得

主进 苏本 例6一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由 静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力) 解如图所示选取坐标系.则有定解问题： kmM d2y- M:地球质量 dr2 m:物体质量 y川=0=1，y=0=0 设v= 则-dv.dy=v dt dt2 dt dy dt dy 代入方程得vdy=- L+Ci 议.积分得2无 y

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 M : 地球质量 m : 物体质量 例6 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: = 2 2 d d t y m 2 y k m M − , 0 y l t= = y  t=0 = 0 , d d t y 设 v = t v t y d d d d 2 2 则 = 代入方程得 积分得 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 y o R l