《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第4章 线性方程组_4.2 齐次线性方程组

4.2 齐次线性方程组

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·齐次线性方程组解的性质 齐次线性方程组的基础解系 ·齐次线性方程组的通解

• 齐次线性方程组解的性质 • 齐次线性方程组的基础解系 • 齐次线性方程组的通解

一、齐次线性方程组解的性质 设齐次线性方程组 a11x1+a12x2+.+a1nxn=0, a21x1+a22x2+.+a2nxn=0, (1) am1x1+am2x2+.+amnxn 0 性质4.2.1 齐次线性方程组(1)的两个解的和还是方程组(1) 的解 性质4.2.2齐次线性方程组(1)解的倍数还是方程组(1)的解 ·齐次线性方程组解的线性组合还是解 ·齐次线性方程组全部解向量构成一个向量空间，称为解空间

一、齐次线性方程组解的性质

二、齐次线性方程组的基础解系 定义 设1,2，.，3是齐次线性方程组(1)的一组解， 如果 1)1,52,.,s线性无关； 2)齐次线性方程组(1)的任一解都可以由ξ1,2，.， 线性表示， 则称51,2，.，s是方程组(1)的一个基础解系 ·基础解系其实就是齐次线性方程组解向量组的一个 极大线性无关组，也是解空间的一组基

二、齐次线性方程组的基础解系

二、齐次线性方程组的基础解系 定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下，它 一定有基础解系，并且基础解系所含向量的个数等 于n一r,这里n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩

二、齐次线性方程组的基础解系

三、齐次线性方程组的通解 ·设1,2，.，n-r是方程组(1)的一个基础解系，则 y=k151+k252+.kn-r5n-r (k1,k2,.,kn-r为任意数) 称为齐次线性方程组(1)的通解

三、齐次线性方程组的通解

例 求齐次线性方程组 x1+X2+x3+x4=0, 3x1+2x2+X3+x4=0, X2+2x3+2x4=0, 5x1+4x2+3x3+3x4=0 的通解

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