《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第一章 n阶行列式 1.4 克拉默法则

一章 行列式 §1.4克拉默法则 克拉默法则 二、 重要定理 三、小结思考题

第一章 行列式 三、小结 思考题 二、重要定理 一、克拉默法则 §1.4 克拉默法则

第一章行列式 克拉默法则 1x1+412x2+.+41m火n=b1 设线性方程组 021k1+02x2++2nXn=b2 (1) amx1+an2x2++amxn=bn 若常数项，2，bn不全为零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b2,bn全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组

第一章 行列式 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则

第一章行列式 方程组)可简写为 2,5=i=120 由线性方程组()的系数构成的行列式 D 称为方程组()的系数行列式

第一章 行列式 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为方程组(1)的系数行列式. 1 1,2, , n ij j i j a x b i n =  = = 方程组(1)可简写为

第一章行列式 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组()的系数 行列式D≠0那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D X1= Γ，X2= X3= D 其中D,是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 01.0,-1b141j1.01m nn

第一章 行列式 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 3 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D  0

第一章行列式 证明： 1、存在性 D,=64+B4,++6,Ag=∑B.Ay 把x,-号代入第12.个方程，得 -号2[ 224-022,-方0- D i=1s=1 故x是方程组的解

第一章 行列式 证明： 1、存在性 1 1 2 2 1 n j j j n nj s sj s D b A b A b A b A = = + + + =  把 代入第 i(i=1,2,.,n)个方程，得 D D x j j = i i n s n j s i j s j n j n s s i j i j n j n s i j s s j n j j i j n j i j j b D b D b a A D b a A D a b A D D D a x a = = = =         = =        = = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 故 是方程组的解. D D x j j =

第一章行列式 2、唯一性 设(G1,C2,.,Cn)是方程组的一个解，则 24=4i=12 A∑a,9,=bAw(i=1,2,.,m 左流相加2424，-22445，-224r4-6,D 右端相加 ∑b,Ak=D,从而cD=D i=1 得C= 所以方程组有唯一解。 D

第一章 行列式 2、唯一性 设(c1 ,c2 ,.,cn )是方程组的一个解，则 1 ( 1,2, , ) n ij j i j a c b i n =  = = 1 ( 1,2, , ) n ik ij j i ik j A a c b A i n =  = = A a c A a c c a A ck D n j n i j i j i k n i n j i k i j j n i n j  i k i j j =  =   = =1 =1 =1 =1 =1 =1 , 1 k n i bi Ai k = D = D D c k 得 k = 所以方程组有唯一解。 左端相加 右端相加 从而ckD=Dk

第一章行列式 1.它的优点在于给出了方程组的解与方程组的 系数及常数项之间的关系式，因此具有重要的理论 价值. 2.克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量 的个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组

第一章 行列式 1. 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的 系数及常数项之间的关系式,因此具有重要的理论 价值. 2.克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量 的个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组

第一章行列式 例1用克拉默则解方程组 2x1+x2-53+x4=8, 飞1-3K2-6x4=9, 2x2-3+2x4=-5, x1+4x2-7x3+6x4=0. 解 2 1-5 1 07 -5 13 1 -3 0 -6 1-23 1 -3 0 -6 D 0 2 -1 2 4- 0 2 -1 2 4 -7 6 0 7 12

第一章 行列式 例1 用克拉默则解方程组        + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −

第一章行列式 7 5 13 3 5 3 C1+2c2 2 -1 2 0 -1 0 c3+2c2 1 -7 12 -7 -7 -2 -3 3 -7 -2 =27, 8 1-5 1 28 -5 1 9 -3 0 -6 19 0 -6 D1二 D2= -5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 0 -7 6 =81, =-108

第一章 行列式 7 7 12 2 1 2 7 5 13 − − − = − 1 2 2 c + c 3 2 2 c + c 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − − 7 2 3 3 − − − = = 27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = = 81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = = −108

第一章行列式 2 1 8 1 21 -5 8 1 -3 9 -6 1 -3 0 9 D; 0 2 -5 2 0 2 -1 -5 1 4 0 6 4 -7 0 =-27, =27, D 81 =3, D -108 =-4, D 27 27 D3= -27 X3= 4= 211. D 27 D 27

第一章 行列式 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = = −27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D = = 27, 3, 27 81 1  1 = = = D D x 4, 27 108 2 2 = − − = = D D x 1, 27 27 3 3 = − − = = D D x 1. 27 4 27 4 = = = D D x