《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-1 向量的内积与正交向量组

线性代数 山东理工大学

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第5章相似以矩阵和二次型 ▣内容提要 §5.1向量的内积与正交向量组 §5.2方阵的特征值与特征向量 §5.3相似矩阵 §5.4实对称矩阵的相似对角形 §5.5二次型及其标准型 §5.6正定二次型

第5章 相似矩阵和二次型 ◼ 内容提要 §5.1 向量的内积与正交向量组 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.3 相似矩阵 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 正定二次型

第5章相似矩阵和二次型 §5.1向量的内积与正交向量组 向量的内积、长度 Schmidt.正交化、单位化法 正交矩阵

§5.1 向量的内积与正交向量组 ● 向量的内积、长度 ● Schmidt正交化、单位化法 ● 正交矩阵 第5章 相似矩阵和二次型

1.向量的内积、长度 b 定义1：n维实向量a= 4 B= g M M 称[a,β]=ab+a,b2+L+abn a,的数量积aB队=(4，L,an) =a"B M 为向量a与阝的内积。 若x,B为行向量，则[a,B]=aB

1. 向量的内积、长度 定义1：n维实向量 1 2 n a a a      =         M 1 2 n b b b      =         M 称   1 1 2 2 , n n   = + + + a b a b a b L ( ) 1 2 1 2 , , , T n n b b a a a b       = =         L M 为向量  与  的内积。 若 , 为行向量，则  ,  T    =  , 的数量积 

向量内积的性质： (1)[a,B]=[B, 对称性 (2[a+B,y]=[a,y]+[B,y] (3)[ka,]=[a,kp]=k[a,P] 线性性 (4)[a,]≥0 正定性 等号成立当且仅当a=O 定义2：实数la=V[a,a个=va++L+a 称为向量的长度（或模， 或范数) 若=1，称a为单位向量

向量内积的性质： (2) , , ,        + = +      (3) , , , k k k        = =      线性性 (1) , ,      =   对称性 等号成立当且仅当  = O (4) , 0    正定性 定义2：实数   2 2 2 1 2 , n    = = + + + a a a L 称为向量的长度（或模，或范数） 若  = 1, 称  为单位向量

把向量单位化：若x≠0，则a≠0 考虑 ar .o- a a 即 的模为1，为单位向量，称为把单位化。 向量长度的性质： (1)非负性：当a≠0时，a>0.当a=0时，a=0 (2)齐次性：ka=ka (3)柯西一施瓦兹不等式：[a,B]≤laB (4) 三角不等式：la+l≤l+lB列

把向量单位化：若   0, 则   0 考虑   2 2 2 1 1 , , 1              = = =   即   的模为1，为单位向量，称为把  单位化。 向量长度的性质： （1）非负性：当   0 时，   0. 当  = 0 时，  = 0 （2）齐次性： k k   =  （3）柯西—施瓦兹不等式：     ,   （4）三角不等式：    +  +

定义3：当向量a,B的内积为零时，即[a,B]=0时， 即a⊥B时，称向量a,B正交。 .[,B]=0台a⊥B(a,B正交) 注： (1)零向量与任何向量都正交。 (2)定义了内积的向量空间称为欧氏空间

注： （1）零向量与任何向量都正交。 （2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 当向量  , 的内积为零时，即 [ , ] 0   = 时， 即   ⊥ 时，称向量  , 正交。 定义3：  = [ , ] 0      ⊥ ( , )  正交

2.Schmidt.正交化、单位化法。 定义4： 正交向量组：非零实向量Q1,02,L,c,两两正交。 正交单位向量组：非零实向量a1,c2,L,两两正交， (标准正交向量组)且每个向量长度全为1。 1(i=j) 即a,a,I-0i≠》

2. Schmidt正交化、单位化法。 定义4： 正交向量组：非零实向量 1 2 , , ,    L s 两两正交。 正交单位向量组： （标准正交向量组） 非零实向量 1 2 , , ,    L s 两两正交， 且每个向量长度全为1。 1( ) [ , ] 0( ) i j i j i j    = =    即

→[a,a2]=0,[a,a]=0,[a,a]=0 ∴.41，C2,0是正交向量组

1 2 3 1 -1 1 2 , 1 , 0 1 1 1                = = =                   − 如： 1 2  =    , 0,   1 3    , 0, =   2 3    , 0. =   1 2 3    , , 是正交向量组

定理：正交向量组是线性无关的向量组。 即： 正交向量组→线性无关的向量组。 证明：设a,a2,anm是正交向量组，对于 k1a1+k2a2+.km0m=O. 用，与等式两边作内积，得 -7*0g 0 0 0 0 即：k[,a]0→k,=0(i=1,2,.,m）

定理：正交向量组是线性无关的向量组。 即: 正交向量组  线性无关的向量组。 1 2 , , , 证明：设   m是正交向量组，对于 1 1 2 2 . m m k k k O    + + = 用i与等式两边作内积，得 1 1 , , , , . i i i i m m i i k k k O                + + + + =         0 0 0 0 , =0 i i i 即：k       =0( 1,2, , ) i  = k i m