《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3 相似矩阵

线性代数 山东理工大学

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第5章相似矩阵和二次型 §5.3相似矩阵 。相似矩阵的定义及性质 。矩阵可对角化的条件

§5.3 相似矩阵 ● 相似矩阵的定义及性质 ● 矩阵可对角化的条件 第5章 相似矩阵和二次型

1.相似矩阵的定义及性质 定义：设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得 PAP=B 则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵， 或称矩阵A与矩阵B相似， 对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把矩阵A变成矩阵B的 相似变换矩阵

1. 相似矩阵的定义及性质 定义: 设 A B, 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P ，使得 1 P AP B − = 则称矩阵 B 是矩阵 A 的相似矩阵， 对 A 进行运算 P AP －1 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的 相似变换矩阵。 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似

注： (1)矩阵相似是一种等价关系，具有自反性、 对称性和传递性。 A与A相似；A与B相似，则B与A相似； A与B相似，B与C相似，则A与C相似。 (2)A与B相似→A~B,反之不对。 A与B相似：B=P-1AP. A与B等价：B=PAQ.(P与Q均为可逆矩阵) 矩阵等价 矩阵相似

注： （1）矩阵相似是一种等价关系，具有自反性、 对称性和传递性。 A与A相似； A与B相似，则B与A相似； A与B相似， B与C相似，则A与C相似 。 （2） A B A B 与 相似  ， 反之不对。 1 A B B P AP = 与 相似： − . A B B PAQ P Q 与 等价： = ( ) . 与 均为可逆矩阵 矩阵等价 矩阵相似

相似矩阵的意义（性质） 性质1：相似矩阵有相同的特征多项式。反之不对 证明：设A,B相似，即有可逆阵P,使 P-AP=B. 于是 B-AE=P-AP-AE=P-AP-AP-EP =P-(A-RE)P=P-A-AEP=A-RE 推论1：相似矩阵有相同的特征值、相同的行列式、 相同的迹、相同的秩

性质1: 相似矩阵有相同的特征多项式。 证明： , 设A B P 相似，即有可逆阵 ,使 1 P AP B. − = 于是 B E -  1 P AP E -  − = 1 1 P AP P EP -  − − = 1 P A E P ( )  − = − 1 P A E P  − = − = − A E 推论1:相似矩阵有相同的特征值、相同的行列式、 相同的迹、相同的秩。 反之不对 相似矩阵的意义(性质)

例1：若 31 相似，求x,y. 相似矩阵有相同的迹→22+x=1+4 相似矩阵有相同的行列式→22x-31y=4-6」 →x=-17,y=-12

例1：若 与 相似，求 22 31 y x       1 2 3 4       x y, . 相似矩阵有相同的迹  22 1 4 + = + x 相似矩阵有相同的行列式  22 31 4 6 x y − = −     = − = − x y 17, 12

性质2：相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 性质3：若A与B相似，则kA与kB相似。 (k为正整数) P-1AP=B→P-1(kAP=kB. 性质4：若A与B相似，则Am与Bm相似。 (m为正整数) P1AP=B→Bm=BB.B=P-1APP-AP.P-AP 个 EE E =P-1A"P

性质2：相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 性质3：若 与 相似，则 与 相似。 ( 为正整数 ) A B k kA kB 1 P AP B − = 1 P kA P kB ( ) .  = − 性质4：若 与 相似，则 与 相似。 ( 为正整数 ) A B m m A m B 1 P AP B − = m m  = B B B B 个 1 1 1 P APP AP P AP − − − = E E E 1 . m P A P − =

推论2：若A与B相似，而f(x)是一个多项式， 则f(A)与f(B)相似。 f(A)=anAm+an4m++aA+aE, f(B)=anBm+amBm+.+aB+aE. 推论3：若矩阵Axn与对角阵A= 相似， n 21,2,L,2n是A的n个特征值， 称方阵A可对角化

推论2：若 与 相似，而 是一个多项式， 则 与 相似。 A B f A( ) f x( ) f B( ) 1 1 1 0 ( ) , m m m m f A a A a A a A a E − = + + + + − 1 1 1 0 ( ) . m m m m f B a B a B a B a E − = + + + + − 推论3：若矩阵 A n n 与对角阵 相似， 1 2 n         =         O    1 2 , , , L n 是 A 的 n 个特征值， 称方阵A可对角化

2。矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对n阶方阵A,如果可以找到可逆矩阵P, 使得PAP=人为对角阵，就称为把方阵A对角化。 定理1：n阶方阵A可对角化（与对角阵相似） 台A有n个线性无关的特征向量。 证明：设A有个线性无关的特征向量P1,P2,pn,且 Ap,=P(i=1,2,令P=[p1卫2.pn]则 入的值可以相等

2. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对 n 阶方阵 A ，如果可以找到可逆矩阵 P ， 使得 P AP −1 =  为对角阵，就称为把方阵 A 对角化。 定理1： n 阶方阵 A 可对角化（与对角阵相似）  A 有 n 个线性无关的特征向量。 1 2 , , , , 证明：设A n p p p 有 个线性无关的特征向量 n 且 ( 1,2, , ), Ap p i n i i i = =  1 2 , P p p p = n   令   则 i的值可以相等

证明：设A有个线性无关的特征向量乃，P,.,卫n,且 Ap,=p,(i=1,2,n令P=[p1p2.p]则 AP=A[ph1p2.pn]=[Ap1Ap2·Apn] =[2卫业.卫] =PA .AP=PA又p,P2,.,pn线性无关→P可逆， 由PAP=PPA→PAP=A

1 2 , , , , 证明：设A n p p p 有 个线性无关的特征向量 n 且 ( 1,2, , ), Ap p i n i i i = =  1 2 , P p p p = n   令   则 AP = A p p p 1 2 n     = Ap Ap Ap 1 2 n     1 1 2 2 n n =      p p p   1 2 1 2 n n p p p        =            = P  =  AP P . 1 2 , , , n 又 p p p 线性无关 P可逆，  =  由 AP P -1 P 1 P AP . -1  =  − P E