《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-4 实对称矩阵的相似对角形

线性代数 山东理工大学

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第5章相以矩阵和二次型 §5.4实对称矩阵的相似对角形

§5.4 实对称矩阵的相似对角形 第5章 相似矩阵和二次型

实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵P,使得P-AP=人 实对称矩阵一定可对角化 更可找到正交矩阵P,使得PAP=人 定理1：实对称矩阵的特征值为实数 证：设入是A的任一特征值， (要证入=入) x是对应于九的特征向量， X2 则Ax=九x,(x≠O)设x= M 用2表示九的共轭复数，x表示x的共轭复向量

实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 1 P AP − =  更可找到正交矩阵 ，使得 1 P AP − P =  定理1：实对称矩阵的特征值为实数. 证：设  是 A 的任一特征值，（要证   = ） x 是对应于  的特征向量， 则 Ax x x O =   , ( ) 设 1 2 n x x x x     =         M 用 表示  的共轭复数，x 表示 x 的共轭复向量。 实对称矩阵一定可对角化

则A=x=元x (1) 又QA是实对称矩阵，A=A且AT=A. .Ax=A.x=A.x (2) 由(1)2)有元·x=A·x,等号两边同时左乘xT 左边=x.(见x)=元x7.x 右边=x(A)=xT·A.x=(Ax)T.x =(Ax)".x=A.xT.x 元xr.x=x7.x 即（元-2）x.x=0

则 Ax x x = =    (1) 又 Q A 是实对称矩阵，  = A A 且 . T A A =  =   Ax A x A x = (2) 由(1)(2)有    x A x = , 等号两边同时左乘 T x 左边 ( ) T T =   =   x x x x   右边 ( ) ( ) ( ) T T T T T T x A x x A x Ax x   x x x x =   =   =  =  =   T T    =     x x x x 即 ( ) 0 T   −   = x x

考虑： x=(x,X2L ,x) X2 M =X1·灭1+2·2+L+Xn·m 元n =x2+x,+L+x2>0(Qx≠O) .元-2=0 .兄=2即九为实数

考虑: 1 2 1 2 ( , , , ) T n n x x x x x x x x     =         L M 1 1 2 2 n n =  +  + +  x x x x x x L 2 2 2 1 2 0 n = + + +  x x x L ( ) Q x O  − =   0  =   即  为实数

定理1的意义： 因为实对称矩阵A的特征值入：为实数，所以齐次 线性方程组(A-2,E)x=0是实系数方程组。 又因为A-1,E=0，可知该齐次线性方程组一定 有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向 量

定理1的意义： 又因为 ，可知该齐次线性方程组一定 有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向 量。 0 A E − = i 因为实对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次 线性方程组 A i ( ) 0 A E x − = i 是实系数方程组

定理2：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量 我楼无关。 证：设人，入，是对称矩阵A的两个特征值，且入≠入2， P1,P2是依次与之对应的特征向量。 则Ap1=入P1,A2=九2P2,(21≠2) QA为实对称矩阵，AI=A 考虑pT=()'=(印，)'=A=pA,右乘n 于是pp,=pA=p·(p)=pp, （元2)pp2=0.Q元≠2，∴pp2=0. ∴pP2=[p1,P2]=0即P1,P2正交

定理2：实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量 1 2 p p, 是依次与之对应的特征向量。 证：设   1 2 , 是对称矩阵 A 的两个特征值，且 1 2    , 则 1 1 1 2 2 2 1 2 Ap p Ap p = =      , , ( ) Q A 为实对称矩阵， T  = A A 1 1 , T T T 1 1 1 1 1 ( ) ( ) = = p A p A T T T 考虑   p p Ap = = 2 右乘 p 于是 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) T T T   p p p A p p p =  =  2 1 2 , T =   p p ( 1 2 1 2 ) 0. T  −  =   p p 1 2 Q   , 1 2 0. T  = p p 1 2 1 2 , 0 T  = = p p p p     即 p p 1 2 , 正交。 正交。 线性无关

定理3：A为n阶实对称矩阵，入是A的r重特征值， 则对应于入的特征向量中，线性无关的向量 结论 的个数为T,即(A-2E)x=0的基础解系 可 所含向量个数为r. R(A-九E)=n-r. 定理4：（实对称矩阵必可对角化） 对于任一n阶实对称矩阵A, 一定存在n阶正交矩阵P,使得PAP=人. 其中△是以A的n个特征值为对角元素的对角阵

定理3： A 为 n 阶实对称矩阵，  是 A 的 r 重特征值， 即 的基础解系 所含向量个数为 r. ( ) 0 A E x − =  则对应于 的特征向量中，线性无关的向量 的个数为  r, R A E n r ( ) . − = −  知 道 结 论 即 可 定理4：(实对称矩阵必可对角化) 对于任一 n 阶实对称矩阵 A ， 一定存在 n 阶正交矩阵 P, 使得 1 P AP . − =  其中  是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵

求正交矩阵P,把实对称矩阵A化为对角阵的方法： 1.解特征方程A-E=0, 求出对称阵A的全部不同的特征值。 2.对每个特征值入，求出对应的特征向量， 即求齐次线性方程组(A-2,E)x=0的基础解系。 3.将属于每个2的特征向量先正交化，再单位化。 这样可得到n个两两正交的单位特征向量P1,P2,L,Pm 4.以P1,P2L,Pm为列向量构成正交矩阵： P=(P,P2L,P). 就有P1AP=人

求正交矩阵 P ，把实对称矩阵 A 化为对角阵的方法： 1. 解特征方程 A E − =  0, 求出对称阵 A 的全部不同的特征值。 即求齐次线性方程组 ( ) 0 A E x − = i 的基础解系。 3. 将属于每个 i 的特征向量先正交化，再单位化。 2. 对每个特征值 i ，求出对应的特征向量， 这样可得到 n 个两两正交的单位特征向量 1 2 , , , n p p p L 4. 以 1 2 为列向量构成正交矩阵: , , , n p p p L 1 2 ( , , , ). P p p p = L n 就有 1 P AP − = 

即P-1.AP=人= 必须注意：对角阵中2，入2L,入的顺序， 要与特征向量P1,P2,L,Pn的排列顺序一致

即 1 1 1 r r P AP     −            =  =           O O O 必须注意：对角阵中 的顺序, 1 2 , , ,    L n 1 2 , , , n 要与特征向量 p p p L 的排列顺序一致