《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-2 方阵的特征值与特征向量

线性代数 山东理工大学

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第5章相似矩阵和二次型 §5.2方阵的特征值与特征向量 ·特征值与特征向量的定义 特征值与特征向量的求法 。特征值和特征向量的性质

§5.2 方阵的特征值与特征向量 ● 特征值与特征向量的定义 ● 特征值与特征向量的求法 ● 特征值和特征向量的性质 第5章 相似矩阵和二次型

1。特征值与特征向量的定义 定义1：设A是n阶方阵， 若存在数入和n维非零列向量x,使得 4Ax=x成立，则称 2是方阵A的一个特征值， x为方阵A的对应于特征值入的一个 特征向量

1. 特征值与特征向量的定义 定义1: 设 A 是 n 阶方阵， 若存在数  和 n 维非零列向量 x ，使得 Ax x =  成立，则称  是方阵 A 的一个特征值， 为方阵 的对应于特征值 的一个 特征向量。 x A 

Ax=九x 注：(1)A是方阵。 (2)特征向量x是非零列向量。 (3)方阵A的与特征值入对应的特征向量 不唯一。 (4)一个特征向量只能属于一个特征值

注：（1）A是方阵。 （2）特征向量 x 是非零列向量。 （4）一个特征向量只能属于一个特征值。 （3）方阵 的与特征值 对应的特征向量 不唯一。 A  Ax x = 

2。特征值与特征向量的求法 12 . 设A= 2 22 020 X= n2 矩阵形斌 'nn Ax=x→（A-E)x=6台 (a1-)x1+a2x2++a1nxn=0, 代数形式 a2X+(22-九)x2+.+a2nxn=0, 4X1+an2x2+.+(an-元)xn=0

2. 特征值与特征向量的求法 Ax x =   − = ( A E x O  ) 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n n n nn n a a a x a a a x A x a a a x         = =                 设  ( ) ( ) ( ) 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0. n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     − + + + =   + − + + =    + + + − =  代数形式 矩阵形式

已知x≠O,所以齐次线性方程组有非零解。 台A-元E=0 01- 012 L 即： 21 022-2L =0 M M M M An Qn2 L 是一个关于的一元次方程 称之为方阵4的特征方程

已知 x O , 所以齐次线性方程组有非零解。  − = A E 0 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a    − − = − 即： L L M M M M L 称之为方阵A的特征方程。 是一个关于的一元n次方程

定义2：对于Ann=(ag）n, 12 L n f4(2)=A-2E= 21 022- ，L M M M M An2 L 是关于九的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式

11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n A n n nn a a a a a a f A E a a a      − − = − = − L L M M M M L 定义2： ( ) , n n ij n n A a   对于 = 是关于  的一个多项式，称为矩阵 A 的特征多项式

a-九 1n A的特征方程A-2E=0 21 422- ，L =0 M M M M 是一个关于2的一元n次方程。 am 0n2 L →阶方阵有个特征值。 有n个解 A的属于特征值的特征向量就是齐次线性方程组 (A-E)=O的所有的非零解

11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a    − − = − L L M M M M L A A E - 0 n   的特征方程 = 是一个关于 的一元 次方程。 有n个解  n n 阶方阵有 个特征值。 ( - ) A A E O   = 的属于特征值 的特征向量就是齐次线性方程组 的所有的非零解

求特征值、特征向量： ()A-九E=0 求全部的特征值几1,22，.，2n; (2)Ax=.x→A-元E)x=0 把得到的特征值2，代入上式， 求出齐次线性方程组(A-2,E)x=0的一个基础解系 51,52,.,5 方阵A的属于特征值2，的全部特征向量可表示为： x=k151+k52+.+k5

求特征值、特征向量： (1) 0 A E − =  求全部的特征值    1 2 , , , n ; (2) Ax x =   − = ( A E x  ) 0 把得到的特征值 i 代入上 式， 求出齐次线性方程组 ( A E x − = i ) 0 的一个基础解系 1 2 , , , .t    方阵 A 的属于特征值i的全部特征向量可表示为： 1 1 2 2 . t t x k k k = + + +   

-1 例1：求矩阵A= -4 3 0 的特征值和全部特征向量。 0 解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值 -1-λ 0 A-元E= -4 3- 0 =0 1 0 2- (2-)(2-1)2=0 特征值为21=2,22=入3=1

解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1： 求矩阵 的特征值和全部特征向量。 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   −   = −      A E − =  1 1 0 4 3 0 0 1 0 2    − − − − = − ( )( ) 2 2 1 0 − − =   特征值为 1 2 3    = = = 2, 1