《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 矩阵与向量_2-1 消元法与矩阵的初等变换

线性代数 山东理工大学

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第2章矩阵与向量 ▣内容提要 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性 §2.4矩阵的秩

第2章 矩阵与向量 ◼ 内容提要 §2.1 消元法与矩阵的初等变换 §2.2 向量及其线性运算 §2.3 向量组的线性相关性 §2.4 矩阵的秩

第2章矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 ·消元法 ·矩阵的概念 ·矩阵的初等变换

§2.1 消元法与矩阵的初等变换 ● 消元法 ● 矩阵的概念 ● 矩阵的初等变换 第2章 矩阵与向量

一、 消去法 用加减消去法解线性方程组的方法 设有三元线性方程组 2x1-x2+2x3=4, x1+x2+2x3=1, (2.1) 4x1+x2+4x3=2. 先将方程组的第一、二两个方程的位置互换，得到 x1+x2+2x3=1, 2X1 -X2+2x3=4, (2.2) 4x1+x2+4x3=2. 将方程组(2.2)的第一个方程的-2倍加到第二个方程上，-4倍加 到第三个方程上，得到

一、消去法 用加减消去法解线性方程组的方法 设有三元线性方程组      1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 - 2 = 4, + 2 1, 4 + 4 2. x x + x x x + x = x x + x = (2.1) 先将方程组的第一、二两个方程的位置互换，得到      1 2 3 1 2 3 1 2 3 + 2 = 1, 2 - 2 4, 4 + 4 2. x x + x x x + x = x x + x = (2.2) 将方程组(2.2)的第一个方程的-2倍加到第二个方程上，-4倍加 到第三个方程上，得到

x +x2+2x3=1, 3X 2-2x3=2, (2.3) 3x2 -4x3=-2 将方程组(2.3)的第二个方程的-1倍加到第三个方程上，得到 x1+x2+2x3=1, -3x2-2x3=2, (2.4) -2x3=-4. 将方程组(2.4)的第三个方程的-1倍加到第二个方程上，+1倍加 到第一个方程上，得到 +X2 =-3, 3X2 =6, (2.5) -2x3=-4

     1 2 3 2 3 2 3 + 2 = 1, -3 -2 2, -3 4 -2. x x + x x x = x - x = (2.3) 将方程组(2.3)的第二个方程的-1倍加到第三个方程上，得到      1 2 3 2 3 3 + 2 = 1, -3 -2 2, 2 -4. x x + x x x = - x = (2.4) 将方程组(2.4)的第三个方程的-1倍加到第二个方程上，+1倍加 到第一个方程上，得到      1 2 2 3 + = -3, -3 6, 2 -4. x x x = - x = (2.5)

最后，将方程组(2.5)的第二个方程的13倍加到第一个方程上， 将第二、三个方程分别乘以数-1/3,1/2，得到 X1=-1, x2=-2 (2.6) 七3=2. 加减消元法求解方程组的解，对方程组反复实施下列三种变换 (1)交换两个方程组的位置； (2)用一个非零的数乘以某一个方程； (3)把某个方程乘以一个常数后加到另一个方程上去。 我们把以上三种变换叫做线性方程组的初等变换。 线性方程组的初等变换不改变方程组的解

最后，将方程组(2.5)的第二个方程的1/3倍加到第一个方程上， 将第二、三个方程分别乘以数-1/3，-1/2，得到 , , .      1 2 3 = -1 = -2 = 2 x x x (2.6) 加减消元法求解方程组的解，对方程组反复实施下列三种变换 （1）交换两个方程组的位置； （2）用一个非零的数乘以某一个方程； （3）把某个方程乘以一个常数后加到另一个方程上去。 我们把以上三种变换叫做线性方程组的初等变换。 线性方程组的初等变换不改变方程组的解

矩阵概念 1.矩阵的定义 现在考虑一般元线性方程组 411X1+412X2+L+41mxn=b1, L21X1+022X2+L+42mXn=b2, (2.8) LLLLLLLLLLL amx am2x2+L amnxn bm 这个元线性方程组无法用克拉默法则来计算。 411412L ain L21L22 其未知量的系数构成的数表： Q2n L L am am2 L amn

二、矩阵概念 1.矩阵的定义 现在考虑一般n元线性方程组 , , .        11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = L L LLLLLLLLLLL L (2.8) 这个n元线性方程组无法用克拉默法则来计算。 其未知量的系数构成的数表： 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a L L L L L

由m×个数a:(i=1,2,L,m;j=1,2,L,n) 排成的m行n列的数表，记作 411 42L L21 L22 L a2n (2.7) A= L L ami am2 L mn 称为m行n列矩阵(Matrix).简称m×n矩阵.简记为 A=(ag)n或Anm 矩阵一般用大写字母4，B,C,L来表示

简记为 ( ij)m n A a  = A mn 或 ( 1,2, , ; 1,2, , ) 由m n a i m j n  = = 个数 ij L L 排成的m n 行 列的数表，记作 称为m n 行 列矩阵(Matrix). 简称mn矩阵. 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       L L L L L (2.7) 矩阵一般用大写字母A B C ,L 来表示

anx+azx2+L+aunx=b 我们把由未知量的系数组成的矩阵 azx+azx2+L +aznx =b2, (2.7 11 012 L LLLLLLLLLLL 1 L22 L amx+am2x2+LamFbm A= L 右端项 Am2 L 称为方程组(2.8)的系数矩阵。方程组(2.8)的系数和右端常数项 组成的矩阵 11 a12 L ain b L21 a L a A= (2.9) MM MM 4m bm)mx(n+1) 为线性方程组(2.8)的增广矩阵

我们把由未知量的系数组成的矩阵 为线性方程组(2.8)的增广矩阵。  +       =       11 12 1 1 21 22 1 2 1 2 ( 1) n n m m mn m m n a a a b a a a b A a a a b L L M M M M L (2.9) , , . 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + =        L L LLLLLLLLLLL L (2.7) 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       L L L L L 右端项 称为方程组(2.8)的系数矩阵。方程组(2.8)的系数和右端常数项 组成的矩阵

2.一些特殊的矩阵 零矩阵(Zero Matrix): 元素全为零的矩阵称为零矩阵， m×n零矩阵记作0mxn或O. 注意：不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如： 0000 0000 ≠(000 0 00 0 0 000

2.一些特殊的矩阵 零矩阵(Zero Matrix): 注意： (0 0 0 0). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如： 元素全为零的矩阵称为零矩阵， mn 零矩阵记作 omn 或 o