《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第5章 相似矩阵与二次型_5.6 正定二次型

5.6 正定二次型

LOGO 5.6 正定二次型

·正定二次型的定义 ·正定二次型的判定条件

• 正定二次型的定义 • 正定二次型的判定条件

一、正定二次型的定义 定义5.6.1设f=xTAx(AT=A)为实二次型，如果 对任意n维列向量x≠0，都有 xTAx 0, 则称f=xTAx为正定二次型，并称实对称矩阵A称 为正定矩阵 如果对任意n维列向量x≠0，都有 xTAx≥0， 则称f=xTAx为半正定二次型，并称实对称矩阵A 称为半正定矩阵

定义5.6.1 设𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙(𝐴 𝑇 = 𝐴)为实二次型，如果 对任意𝑛维列向量𝒙 ≠ 0,都有 𝒙 𝑇𝐴𝒙 > 0， 则称𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为正定二次型，并称实对称矩阵 𝐴 称 为正定矩阵. 如果对任意𝑛维列向量𝒙 ≠ 0,都有 𝒙 𝑇𝐴𝒙 ≥ 0， 则称𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为半正定二次型，并称实对称矩阵 𝐴 称为半正定矩阵. 一、正定二次型的定义

一、正定二次型的定义 定义设f=xTAx(AT=A)为实二次型，如果对任 意非零列向量x,都有xTAx<0,则称f=xTAx为负 定二次型，并称矩阵A为负定矩阵， 如果对任意非零列向量x,都有x'Ax≤0，则称 f=xTAx为半负定二次型，并称矩阵A为半负定矩阵； 如果对任意的非零列向量x,f=xAx的值时正 时负，则称f=xTAx为不定二次型

定义 设𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙 (𝐴 𝑇 = 𝐴)为实二次型，如果对任 意非零列向量𝒙，都有𝒙 𝑇𝐴𝒙 < 0，则称𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为负 定二次型，并称矩阵 𝐴为负定矩阵. 如果对任意非零列向量𝒙，都有𝒙 𝑇𝐴𝒙 ≤ 0，则称 𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为半负定二次型，并称矩阵 𝐴 为半负定矩阵； 如果对任意的非零列向量𝒙， 𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙的值时正 时负，则称𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为不定二次型. 一、正定二次型的定义

二、正定二次型的判定 引理1实二次型 f(x1,x2.,xn)=d1x子+d2x3+.+dnx2 正定的充分必要条件是d:>0,i=1,2,.,n. 引理2非退化实线性替换保持二次型正定性不变， 即设f(x1,x2,.,xn)经过非退化线性替换X=CY化 为gy1,y2,.,yn),则f(x1,x2,.,xn)正定的充分 必要条件是g(y1,y2,.,ymn)正定

引理1 实二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑑1𝑥1 2 + 𝑑2𝑥2 2 + ⋯ + 𝑑𝑛𝑥𝑛 2 正定的充分必要条件是 𝑑𝑖 > 0 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 . 引理2 非退化实线性替换保持二次型正定性不变. 即设𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 经过非退化线性替换𝑋 = 𝐶𝑌化 为𝑔 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 , 则𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 正定的充分 必要条件是𝑔 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 正定. 二、正定二次型的判定

二、正定二次型的判定 定理5.6.1n元实二次型f(x1,x2,.,xn)是正定的 充分必要条件是其标准形中平方项的系数全大于零. 即它的正惯性指数等于n. 例2用惯性指数法判断三元二次型 f(x1,x2,x3)=x子+x经+x3-x1x2+x2x3 是否是正定二次型， ·正定二次型f(x1,x2,.,xn)的规范标准形为 y好+y吃+.+y7

定理 5.6.1 𝑛 元实二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 是正定的 充分必要条件是其标准形中平方项的系数全大于零. 即它的正惯性指数等于 𝑛 . 例 2 用惯性指数法判断三元二次型 𝑓 𝑥1 ,𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + 𝑥3 2 − 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 是否是正定二次型. • 正定二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 的规范标准形为 𝑦1 2 + 𝑦2 2 + ⋯ + 𝑦𝑛 2 . 二、正定二次型的判定

二、正定二次型的判定 推论1 实对称矩阵A正定的充分必要条件A与单位 矩阵合同. 推论2 实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可 逆矩阵C,使得A=CTC.（课本例2) 推论3 正定矩阵的行列式大于零.（必要非充分条件） 推论4 实对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正·

推论1 实对称矩阵𝐴正定的充分必要条件𝐴与单位 矩阵合同. 推论2 实对称矩阵 𝐴 正定的充分必要条件是存在可 逆矩阵 𝐶，使得 𝐴 = 𝐶 𝑇𝐶.（课本例2） 推论3 正定矩阵的行列式大于零. 推论4 实对称矩阵𝐴为正定的充分必要条件是𝐴的 特征值全为正． 二、正定二次型的判定 （必要非充分条件）

二、正定二次型的判定 定理5.6.2实二次型f=xTAx正定的充分必要条件 为矩阵A的顺序主子式全大于零！ 定义子式 011 012 a1k Pk= 021 022 . a2k (k=1,2,.,n) ak1 ak2 akk 称为矩阵A=(a)mm的k阶顺序主子式， n阶方阵的顺序主子式有n个

二、正定二次型的判定 定理 5.6.2 实二次型𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙正定的充分必要条件 为矩阵 𝐴 的顺序主子式全大于零. 定义 子式 𝑃𝑘 = 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑘1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑘2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑘 𝑎2𝑘 ⋮ 𝑎𝑘𝑘 (𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑛) 称为矩阵 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛𝑛 的𝑘阶顺序主子式. • 𝑛阶方阵的顺序主子式有𝑛个

二、正定二次型的判定 例3判别下列二次型的正定性 1)f(x1,X2,x3)=x7-x3+5x3+4x1X2-8x1X3-4x2X3 2)f(x1,x2,x3)=3x好+4x1x2+4x2-x2x3+5x3 例4证明：若A是正定矩阵，则A-1也是正定的 例5设A、B是n阶正定矩阵，证明A+B也是正 定矩阵

例 3 判别下列二次型的正定性 1) 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 2 − 𝑥2 2 + 5𝑥3 2 + 4𝑥1𝑥2 − 8𝑥1𝑥3 − 4𝑥2𝑥3 2) 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 3𝑥1 2 + 4𝑥1𝑥2 + 4𝑥2 2 − 𝑥2𝑥3 + 5𝑥3 2 二、正定二次型的判定 例 4 证明：若 𝐴 是正定矩阵，则 𝐴 −1 也是正定的. 例 5 设 𝐴、𝐵 是𝑛阶正定矩阵，证明 𝐴 + 𝐵也是正 定矩阵

定理5.6.3实二次型f=xTAx负定的充分必要条件 是A的所有奇数阶顺序主子式小于零，而偶数阶顺序 主子式大于零 例6设f=xTAx是一个实二次型，若有n维实向量 x1,x2,使x1Ax1>0,x2Ax2<0,证明必有n维实向 量x0≠0使x6Ax0=0

定理5.6.3 实二次型𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙负定的充分必要条件 是𝐴的所有奇数阶顺序主子式小于零，而偶数阶顺序 主子式大于零. 例6 设𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙是一个实二次型，若有𝑛维实向量 𝒙𝟏, 𝒙𝟐，使 𝒙𝟏 𝑇𝐴𝒙𝟏 > 0, 𝒙𝟐 𝑇𝐴𝒙𝟐 < 0，证明必有𝑛维实向 量 𝒙𝟎 ≠ 𝟎 使 𝒙𝟎 𝑇𝐴𝒙𝟎 = 0