山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）7.2线性变换的运算

归东理王大名 SHANDONG UNTVERSITY OF TECHNOLOGY 7.2线性变换的运算

7.2 线性变换的运算

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、线性变换的乘积 1.定义 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法 定义1设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它 们的乘积AB为 (B)(力=B() (E0

(ᵰℬ) (ᵰ) = ᵰ(ℬ(ᵰ))         (ᵰ∈ ᵰ ).  一、线性变换的乘积 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法. 1. 定义

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质1 线性变换的乘积还是线性变换. 2.运算规律 1) 结合律 (AB)C=A(BC). 2)对于任意线性变换A都有 AE=EA=A

2. 运算规律 性质1 线性变换的乘积还是线性变换. 1) 结合律

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3) 线性变换的乘法一般不满足交换律. 例如，在实数域R上的线性空间R[x]中，线性变换 D(f(x)=f'(x), (f(x))=f(t)dt, 乘积D1=￡，但一般JD≠￡

3) 线性变换的乘法一般不满足交换律

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、线性变换的加法 1.定义 定义2 设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它 们的和A+B为 (GB)(=中+B(力(E

二、线性变换的加法 1. 定义 (ᵰ+ ℬ) (ᵰ) = ᵰ(ᵰ) + ℬ(ᵰ)     (ᵰ∈ ᵰ ) 

山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质2 线性变换的和是线性变换. 2.运算规律 1)交换律 GB=B+口 2)结合律 (A+B)+C=A+(B+C) 3)零变换 凡+O=A

性质2 线性变换的和是线性变换. 2. 运算规律 1) 交换律 ᵰ+ ℬ = ℬ + ᵰ 2) 结合律

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 4)负变换线性变换A的负变换定义为： （-(0加=-0 (E. 负变换满足 A+(-A)=O 5)乘法对如法的左右分配律 (B+年BGB+力=B+刀口

5) 乘法对加法的左右分配律 (ℬ + ᵰ)ᵰ= ℬᵰ+ᵰ(ℬᵰ. + ᵰ) = ᵰℬ + ᵰᵰ, ( − ᵰ) (ᵰ) = − ᵰ(ᵰ)              (ᵰ∈ ᵰ ). 负变换满足

山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、线性变换的数量乘法 1.定义 在上一节中我们看到，数域P中每个数k都决定一个数乘 变换(.利用线性变换的乘法，可以定义数域P中的数与 线性变换的数量乘法： 定义3数域P中的数与线性变换的数量乘法定义为 kA=KA, 即 (kA)(a)=(KA)(a)=C((a))

三、线性变换的数量乘法 1. 定义 线性变换的数量乘法： 即

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质3 kA还是线性变换 2. 运算规律 1) 1A=A. 3)(k+1)A=kA+LA. 2） (kl)A=k(lA), 4)k(A+B)=kA+kB ·线性空间V中全体线性变换，对于如上定义的加法与 数量乘法，也构成数域P上一个线性空间.记作L(V):

2. 运算规律

G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 四、线性变换的逆变换 1.定义 定义4线性空间V的线性变换几称为可逆的，如果 有V的变换B存在，使 AB=BA=E. 这时，变换B称为A的逆变换，记为A-1

四、线性变换的逆变换 1. 定义