山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）8.7矩阵的有理标准形

山求濯工大深 8.7 矩阵的有理标准 形

8.7 矩阵的有理标准 形

G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。定义 。有理标准形的不变因子 。矩阵的有理标准形

主要内容 定义 有理标准形的不变因子 矩阵的有理标准形

山求濯工大深 一、定义 前一节中证明了复数域上任一矩阵A可相似于一个若尔 当形矩阵.这一节将对任意数域P来讨论类似的问题 我们证明了P上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵

一、定义 当形矩阵

山东理子大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义1 对数域P上的一个多项式 d(2)=λn+a1n-1+.+an-12+an, 称矩阵 0 0 0 0 一an 1 0 0 . 0 -an-1 0 1 0 0 A= -an-2 (1) 0 0 0 0 一02 0 0 0 . 1 一01 为多项式d() 的友矩阵

称矩阵

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 容易验证，A的不变因子（即入E一A的不变因子）是 1,1.,1,d(). n-1个

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义2 设准对角矩阵 A2 (2) As 其中A:分别是数域P上某些多项式d()(i=1,2,.,S) 的友矩阵，且满足 d1(2)1d2(2).|ds(2), 就称A为P上的一个有理标准形矩阵

定义2 设准对角矩阵 的友矩阵，且满足

山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、有理标准形的不变因子 引理(2)中矩阵A的不变因子为 1,1,.1,d1(2),d2(2),.,d(2), 其中1的个数等于d1(),d2(),.,ds()的次数之和n减去s 证明 V八E1-A1 AE-A= λE2-A2 λEs-As

二、有理标准形的不变因子 证明

G 山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 由于每个几E:-A:的不变因子为1，.，1，d(2),故 可用初等变换把它变成 d:() 进而用初等变换将λE一A变成

可用初等变换把它变成

G 加求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1 1 d1(2) . 1 (3) d2() ds(A)

山东理王大溪 在入-矩阵（③）上再进行一些行或列互换，则可变成 1 d1(2) d2(λ) ds(2) 由于d1()川d2(2)川.|ds(),它是1E-A的标准形， 1,.,1,d1(2),d2(),.,d(2)是它的不变因子.证毕

证毕