山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章_8.2 λ-矩阵在初等变换下的标准形

山东理工大学 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 8.2 -矩阵 在 初等变换下的标准形

8.2 ￾ - 矩阵 在 初等变换下的标准形

加东翟2大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。初等变换的定义 。等价 。☐一矩阵的标准形

主要内容 初等变换的定义 等价 ￾ -矩阵的标准形

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、初等变换的定义 定义1 下面的三种变换叫做口一矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行（列)互换位置； (2)矩阵的某一行（列)乘以非零常数C; (3) 矩阵的某一行（列)加另一行（列)的口（口） 倍，口（口）是一个多项式

一、初等变换的定义 定义1 下面的三种变换叫做 ￾ - 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行 (列) 互换位置； (3) 矩阵的某一行 (列) 加另一行 (列) 的 ￾ (￾ ) 倍，￾ (￾ ) 是一个多项式

山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵 三种初等变换对应三个初等矩阵 倏j 怪式 1 0 1 →i行 P(i,j) = j行

三种初等变换对应三个初等矩阵 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 怪j →i行

G 山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 怪j i 1 1 1 p() i行 P(i,j(p))= 1 j行

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 。 初等矩阵都是可逆的，并且有 P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c)-1=P(i(c-1), P(i,j(o(2)-1=P(i,j(-p(2)), 定理1对一个S×n的几-矩阵A()作一次初等行变换， 就相当于在A()的左边乘上相应的S×S初等矩阵； 对A(入)作一次初等列变换，就相当于在A()的右边乘 上相应的n×n初等矩阵

• 初等矩阵都是可逆的，并且有

山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 由此得出初等变换具有可逆性： 设-矩阵A()用初等变换变成B(),这相当于对A() 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来 乘B()就变回A(),而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而 由B()可用初等变换变回A()·我们还可以看出在第 二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是 为了使P(i(c)可逆的缘故

由此得出初等变换具有可逆性： 左乘或右乘一个初等矩阵. 再用此初等矩阵的逆矩阵来 我们还可以看出在第 二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是

山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、等价 1.定义 定义2几-矩阵A()称为与B()等价，如果可以经过 系列初等变换将A()化为B()· 2.等价的性质 等价是入-矩阵之间的一种关系，这个关系具有下列三个性质： (1)反身 (2) 对称性(3)传递性 性

二、等价 1. 定义 2. 等价的性质 如果可以经过一 (1) 反身 性 (2) 对称性 (3) 传递性

山求濯工大深 3.入-矩阵等价的条件 矩阵A()与B()等价的充分必要条件是有一系列初等 矩阵P1,P2,.,P,Q1,Q2,.,Q使 A(2)=P1P2.PB(a)Q1Q2.Qs·