山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）8.1 λ-矩阵

山东理工大学 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 8.1 λ-矩阵

8.1 𝜆-矩阵

山东理子大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义一个矩阵，如果它的元素是入的多项式，即P[] 的元素，就称为入矩阵. 因为数域P中的数也是P[]的元素，所以在几矩阵中 也包括以数为元素的矩阵.为了与几矩阵相区别，有 时我们把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵. ·以下用A(),B(),.等表示λ-矩阵

定义 一个矩阵，如果它的元素是 𝜆 的多项式，即𝑃[𝜆] 的元素, 就称为 𝜆-矩阵. • 因为数域 𝑃 中的数也是 𝑃[𝜆] 的元素，所以在𝜆-矩阵中 也包括以数为元素的矩阵. 为了与 𝜆-矩阵相区别，有 时我们把以数域 𝑃 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵. • 以下用 𝐴 𝜆 , 𝐵 𝜆 , ⋯等表示 𝜆-矩阵

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY P[)]中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数 的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是 用到其元素的加法与乘法，因此我们可以同样定义入矩阵 的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律。 ·行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样 可以定义一个n×几的几-矩阵的行到式

• 𝑃[𝜆] 中的元素可以作加、减、乘三种运算, 并且它们与数 的运算有相同的运算规律. 而矩阵加法与乘法的定义只是 用到其元素的加法与乘法，因此我们可以同样定义𝜆-矩阵 的加法与乘法, 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律. • 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此, 同样 可以定义一个 𝑛 × 𝑛 的 𝜆-矩阵的行列式

山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一般地，几矩阵的行列式是几的一个多项式，它与数字矩阵 的行列式有相同的性质 例如，对于几矩阵的行列式，仍然有矩阵乘积的行列式等 等于行列式的乘积 定义1如果几矩阵A()中有一个”(T≥1)级子式不为零， 而所有T十1级子式（如果有的话)全为零，则称A()的秩为r 。零矩阵的秩规定为零

例如, 对于-矩阵的行列式，仍然有矩阵乘积的行列式等 等于行列式的乘积. • 一般地，-矩阵的行列式是 𝜆 的一个多项式, 它与数字矩阵 的行列式有相同的性质. 定义 1 如果 𝜆-矩阵 𝐴(𝜆) 中有一个 𝑟 ( 𝑟 ≥ 1 )级子式不为零， 而所有 𝑟 + 1 级子式 (如果有的话)全为零，则称 𝐴(𝜆) 的秩为 𝑟 . • 零矩阵的秩规定为零

山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义2一个n×n的1-矩阵A()称为可逆的，如果有一 个n×n的入-矩阵使 A(2)B(2)=B(2)A()=E, (1) 适合(1)的矩阵B()(它是唯一的)称为A()的逆矩阵，记 为A-1(). 定理1一个n×n的1-矩阵A()是可逆的充分必要条件 是行列式A()川是一个非零数

定义 2 一个 𝑛 × 𝑛 的 𝜆-矩阵 𝐴(𝜆) 称为可逆的，如果有一 个𝑛 × 𝑛 的 𝜆-矩阵使 𝐴(𝜆) 𝐵(𝜆) = 𝐵(𝜆) 𝐴(𝜆) = 𝐸 , (1) 适合 (1) 的矩阵 𝐵(𝜆) (它是唯一的) 称为 𝐴(𝜆) 的逆矩阵，记 为 𝐴 −1 (𝜆) . 定理 1 一个 𝑛 × 𝑛 的 𝜆-矩阵 𝐴(𝜆) 是可逆的充分必要条件 是行列式 |𝐴(𝜆)| 是一个非零数