山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章_9.4 正交变换

山东覆子大军 9.4正交变换

9.4 正交变换

山东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 在解析几何中，正交变换就是保持点之间的距离不变的变换 在一般的欧氏空间中，我们有 定义1欧氏空间V的线性变换几称为正交变换，如果它保 持向量的内积不变，即对于任意的，B∈V,都有 (力=(

在解析几何中，正交变换就是保持点之间的距离不变的变换. 在一般的欧氏空间中，我们有 (ᵰ,)  =  (ᵰ,) 

山求程2大深 定理1设几是n维欧氏空问V的一个线性变换，于是下面 四个命题是相互等价的： 1)几是正交变换； 2)A保持向量的长度不变，即对于∈V,lA|=||; 3)如果e1,E2,.,en是标准正交基，那么，Ae1,AE2,.,Aen也 是标准正交基； 4)几在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵

四个命题是相互等价的： 是标准正交基;

山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的 因此正交变换是一个欧氏空间到它自身的同构映射. 性质1正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换 性质2 正交变换的实特征值只能是土1. 性质3正交变换属于特征值1和一1的特征向量是正交的. 性质4设A是一个n阶正交矩阵，心，B∈Rn,则 (力=（力

• 因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的. 因此正交变换是一个欧氏空间到它自身的同构映射. 性质1 正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换. (ᵰ,) = (ᵰ,)

山求翟2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 知果A是正交矩阵，则A=土1. 行列式等于1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的； 行列式等于一1的正交变换称为第二类的 例1恒等变换是第一类正交变换。 倒22维几何空问R2中的旋转变换Rg: Re(a)=(cose -sin0 sin 0 cos0 a, ax∈R2 是第一类正交变换

例1 恒等变换是第一类正交变换. 是第一类正交变换

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例3平面中反射变换几： A(x,y)=(-x,y) 是第二类正交变换

ᵰ ᵰ ᵰ ᵰ ᵰ 是第二类正交变换

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例4在欧氏空间中任取一组标准正交基1,2，.，E,定义 线性变换凡为 p=-,且年2，.，□ 那么，凡就是一个第二类的正交变换

ᵰ1 = − ᵰ1，ᵰᵰ= ᵰᵰ, ᵰ= 2, ⋯ , ᵰ