山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）8.4矩阵相似的条件

加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 8.4 矩阵相似的条件

8.4 矩阵相似的条件

g 山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ·入·矩阵入E一A，,我们称它为A的特征矩阵. ·这一节的主要结果是证明两个n×n数字矩阵A和B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵几E一A和 入E-B等价

• 𝜆 - 矩阵 𝜆𝐸 − 𝐴 ，我们称它为 𝐴 的特征矩阵. • 这一节的主要结果是证明两个 𝑛 × 𝑛 数字矩阵 𝐴 和𝐵 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 𝜆𝐸 − 𝐴和 𝜆𝐸 − 𝐵 等价

山求程2大￥ SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引理1 如果有n×n数字矩阵Po,Q0使 λE-A=P(2E-B)Q0, (1) 则A与B相似. 证明因P(E-B)Q0=PQ0-PBQ0, 它又与入E一A相等，进行比较后应有 PoQo E,PoBQo A. 由此Q0=Po1,而A=PoBPo1.故A与B相似

引理 1 如果有 𝑛 × 𝑛 数字矩阵 𝑃0 ,𝑄0 使 𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝑃0 (𝜆𝐸 − 𝐵 ) 𝑄0， (1) 则 𝐴 与 𝐵 相似. 证明 因 𝑃0 (𝜆𝐸 − 𝐵 ) 𝑄0 = 𝜆𝑃0𝑄0 − 𝑃0𝐵𝑄0 ， 它又与𝜆𝐸 − 𝐴 相等，进行比较后应有 𝑃0𝑄0 = 𝐸， 𝑃0𝐵𝑄0 = 𝐴 . 由此 𝑄0 = 𝑃0 −1，而 𝐴 = 𝑃0𝐵𝑃0 −1 . 故 𝐴 与 𝐵 相似

山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引理2 对于任何不为零的n×n数字矩阵A和入-矩阵 U(2)与V(2)，一定存在1-矩阵Q(2)与R()以及数字 矩阵U0和V0使 U(2)=(2E-A)Q(2)+U0, (2) V()=R()(E-A)+V0, (3)

引理 2 对于任何不为零的 𝑛 × 𝑛 数字矩阵 𝐴和 𝜆-矩阵 𝑈(𝜆) 与 𝑉(𝜆) ，一定存在 𝜆-矩阵 𝑄(𝜆)与 𝑅(𝜆) 以及数字 矩阵 𝑈0 和 𝑉0 使 𝑈(𝜆) = (𝜆𝐸 − 𝐴 ) 𝑄(𝜆) + 𝑈0 ， (2) 𝑉(𝜆) = 𝑅(𝜆) (𝜆𝐸 − 𝐴 ) + 𝑉0 ， (3)

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理1 设A,B是数域P上两个n×n矩阵.A与B相似的 充分必要条件是它们的特征矩阵几E一A和入E一B等价 ·矩阵A的特征矩阵E一A的不变因子以后就简称为 A的不变因子. 推论矩阵A与B相似的充分必要条件是它们有相同的 不变因子

定理1 设 𝐴, 𝐵 是数域 𝑃 上两个 𝑛 × 𝑛 矩阵. 𝐴 与 𝐵 相似的 充分必要条件是它们的特征矩阵 𝜆𝐸 − 𝐴 和 𝜆𝐸 − 𝐵 等价. • 矩阵 𝐴 的特征矩阵𝜆𝐸 − 𝐴的不变因子以后就简称为 𝐴的不变因子. 推论 矩阵 𝐴 与 𝐵 相似的充分必要条件是它们有相同的 不变因子

G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY n×n矩阵的特征矩阵的秩一定是n.因此，n×n矩阵的 不变因子总是有个，并且它们的乘积就等于这个矩阵 的特征多项式 以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们 可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子（它们与该矩 阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子

• 𝑛 × 𝑛矩阵的特征矩阵的秩一定是 𝑛.因此， 𝑛 × 𝑛矩阵的 不变因子总是有 𝑛 个，并且它们的乘积就等于这个矩阵 的特征多项式. • 以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量,因此我们 可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩 阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子