山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）8.5初等因子

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8.5 初等因子

G 加素理2大名 主要内容 ®定义 0】 不变因子与初等因子的关系 。初等因子的求法

主要内容 定义 不变因子与初等因子的关系 初等因子的求法

山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、定义 在这一节与下一节中我们假定讨论中的数域P是复数域. 定义1把矩阵A（或线性变换凡)的每个次数大于零的不变 因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次 因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线 性变换凡)的初等因子

一、定义 因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1设12级矩阵的不变因子是 1,1,.,1,(0-1)2,(1-1)2(1+1), 9 (日1)2(G1)3+1)2. 个 按定义，它的初等因子有7个，即 (日1)2，（日1）2，（日1）2，(G1),(G1), (0-)2,(0+)2. 其中（几-1）2出现三次，1+1出现二次

例1 设 12 级矩阵的不变因子是 (ᵰ− 1) 2 (ᵰ+ 1)(ᵰ 2 + 1) 2 9  .  个 按定义，它的初等因子有 7 个，即 (ᵰ− 1) 2  , (ᵰ− 1) 2  , (ᵰ− 1) 2  , (ᵰ+ 1) , (ᵰ+ 1) 

山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、不变因子与初等因子的关华 首先，假设n级矩阵A的不变因子d1(2),d2(),.,dn(2) 为已知.将d:(2)(i=1,2,.,n)分解成互不相同的一次 因式方幂的乘积： d1(2)=(0-1)k11(1-2)12.(-r)k1 d2(0)=(0-1)21(0-12)k22.(1-r)k2r dn(2)=(a-1)kn1(a-2)kn2.(1-2)knn

二、不变因子与初等因子的关系 为已知. 因式方幂的乘积： ⋯ ⋯

山求翟王大深 则其中对应于k≥1的那些方幂 (0-) (k≥1) 就是A的全部初等因子.我们注意到不变因子有一个除尽 一个的性质，即 d;()|d+1(2)(i=1,2,.,n-1), 从而 0-1y)a-)4i=1,2,.,n-1j=1,21

我们注意到不变因子有一个除尽 一个的性质，即 从而

山求理工大买 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 因此在d1(2),d2(2),.,dn(2)的分解式中，属于同一个一次 因式的方幂的指数有递升的性质，即 ≤2还.≤（年1,2，.，力. 这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中方次最高 的必定出现在dn()的分解式中，方次次高的必定出现在dn-1() 的分解式中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是难一确定的

因式的方幂的指数有递升的性质，即 ᵰ1ᵰ≤ ᵰ2ᵰ≤ ⋯ ≤ ᵰᵰᵰ     (ᵰ= 1, 2,  ⋯  , ᵰ) . 这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中方次最高 的分解式中. 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的

山求覆2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 上面的分析给了我们一个知何从初等因子和矩阵的级数 难一地作出不变因子的方法， 设一个级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中 将同一个一次因式(1-入)0=1,2，.，)的方幂的那些 初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足几时， 就在后面补上适当个数的1，使得凑成个

• 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数 唯一地作出不变因子的方法

G 山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设所得排列为 (1-1)k1 (0-1)kn-1,1 .,(-1)k11 (1-2)kn2 (1-12)n-1.2 .,(2-2)12 ()knr (0-r)kn-1y.,(-)k dn(2) dn-1(2)

设所得排列为 ⋯ ᵰ1(ᵰ) ⋯

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 于是令 d(2)=(0-1)k1(0-2)k2.(0-r)kr (i=1,2,.,n). 则d1(),d2(2),.,dn()就是A的不变因子. 定理1 两个同级复数矩阵相似的充分必要条是它们有 智的初等因子·

于是令 定理1 两个同级复数矩阵相似的充分必要条是它们有 相同的初等因子