山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）8.6若尔当标准形的理论推导

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 8.6 若尔当(Jordan)) 标准形的理论推导

8.6 若尔当(Jordan) 标准形的理论推导

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。若尔当标准形的初等因子 。矩阵的若尔当标准形 ®矩阵相似的条件

主要内容 若尔当标准形的初等因子 矩阵的若尔当标准形 矩阵相似的条件

山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、若尔当标准形的初等因子 我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题 首先计算若尔当标准形的初等因子.设有若尔当块 0 0 0 . 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 J0= 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 n×n 则其初等因子为（几一入0）

一、若尔当标准形的初等因子 我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题. 首先计算若尔当标准形的初等因子. 设有若尔当块

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 下面再来求若尔当矩阵的初等因子.设 7J1 2 是一个若尔当形矩阵，其中 1 = 1/ kixki

下面再来求若尔当矩阵的初等因子. 设 是一个若尔当形矩阵，其中

山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 既然/：的初等因子是(-)k1(i=1,2,.,s), 所以1E-J;与 1 (1-) 等价.于是

等价. 于是

G 山求濯工大深 Ek -1 λE-J= 1Ek2-]2 AEks-Js 与

与

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1 (1-1)k1 (1-2)k (a-as)ks 等价

等价

山求覆2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 因此，」的全部初等因子是： (0-λ1)1，(1-12)2，.，(0-s)ks. 这就是说，若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若 尔当块的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全被它的级 数几与主对角线上元素几0所刻划，而这两个数都反映在它 初等因子（几一0）”中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一 决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次 序外是被它的初等因子唯一决定·

这就是说，若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若 尔当块的初等因子构成的. 由于每个若尔当块完全被它的级 因此，若尔当块被它的初等因子唯一 决定. 由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次 序外是被它的初等因子唯一决定

山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、矩阵的若尔当标准形 定理1每个级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似， 这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形

二、矩阵的若尔当标准形 这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵

加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1设12级矩阵的不变因子是 11,.,1,(0-1)2,(0-1)2(0+1), 9 (仔1)2（母1）+1)2. 个 按定义，它的初等因子有7个，即 (G1)2,(G1)2,(仔1)2，（⊕1），（任1）， (2-)2,(0+)2. 于是其若尔当标准形为

例1 设 12 级矩阵的不变因子是 (ᵰ− 1) 2 (ᵰ+ 1)(ᵰ 2 + 1) 2 9 . 个 按定义，它的初等因子有 7 个，即 (ᵰ− 1) 2 , (ᵰ− 1) 2 , (ᵰ− 1) 2 , (ᵰ+ 1) , (ᵰ+ 1) , 于是其若尔当标准形为