山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）6.6子空间的交与和

G 山求理工大买 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.6 子空间的交与和

6.6 子空间的交与和

加素理2大名 主要内容 ®子空间的交 ●子空间的和 。子空间的交与和的性质 。子空间的交与和的维数

主要内容 子空间的交 子空间的和 子空间的交与和的性质 子空间的交与和的维数

山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、子空间的交 定义1设V1,V2是线性空间V的两个子空间，称 V1nV2={a|a∈V1且a∈V2} 为V1,V2的交. 定理6如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么它 的交V1∩V2也是V的子空间

一、子空间的交 定义1 设 𝑉1 , 𝑉2 是线性空间 𝑉 的两个子空间, 称 𝑉1 ∩ 𝑉2 = {  |   𝑉1 且   𝑉2 } 为 𝑉1 , 𝑉2的交. 定理 6 如果𝑉1 , 𝑉2 是线性空间 𝑉 的两个子空间, 那么它 的交𝑉1 ∩ 𝑉2也是 𝑉 的子空间

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 子空间的交的运算规律 1)交换律 V10V2 =V20V1; 2)结合律 (VI0V2)nV3 =Vi0(V20V3). 由结合律，我们可以定义多个子空间的交： wotn0= 它也是V的子空间

子空间的交的运算规律 1) 交换律 𝑉1 ∩ 𝑉2 = 𝑉2 ∩ 𝑉1； 2) 结合律 (𝑉1 ∩ 𝑉2 ) ∩ 𝑉3 = 𝑉1 ∩ (𝑉2 ∩ 𝑉3 ) . 由结合律，我们可以定义多个子空间的交： 它也是𝑉的子空间. 𝑉1 ∩ 𝑉2 ∩ ⋯ ∩ 𝑉𝑠 = ሩ 𝑖=1 𝑠 𝑉𝑖

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 侧1设V=p22={(82182)ageP,i=1,2 vi=(a )lab.cEP).V2=((o B)a.b.cEP 则%nvz={(6g)abep

例1 设 𝑉 = 𝑃 2×2 = 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑃, 𝑖 = 1,2 𝑉1 = 𝑎 0 𝑐 𝑏 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑃 , 𝑉2 = 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑃 则𝑉1 ∩ V2 = 𝑎 0 0 𝑏 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2V1={A∈Pnxm|AT=A},V2={A∈Pnx|AT=-A 是Pnxn的子空问，证明V1nV2={0}

例2 𝑉1 = 𝐴 ∈ 𝑃 𝑛×𝑛 𝐴 𝑇 = 𝐴 , 𝑉2 = 𝐴 ∈ 𝑃 𝑛×𝑛 𝐴 𝑇 = −𝐴 是𝑃 𝑛×𝑛的子空间，证明𝑉1 ∩ 𝑉2 = 0

山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 思考：若V,V2是V的子空 不一定！ 间，V1UV2是V的子空间吗？ 例如： V表示3维的几何空问，V1={x轴上所有向量}， V2=y轴上所有向量}，V1UV2={x轴或y轴上所有向量} 取∈V1,a≠0，B∈V2,B≠0，则a,B∈V1UV2, 但a+B庄Vi,a+B庄V2,所以a+B庄V1UV2

思考：若𝑉1 , 𝑉2是𝑉的子空 不一定！ 间，𝑉1 ∪ 𝑉2是𝑉的子空间吗？ 𝑉表示3维的几何空间， 例如： 𝑉1 = {𝑥轴上所有向量}, 𝑉2 = {𝑦轴上所有向量}, 𝑉1 ∪ 𝑉2 = {𝑥轴或𝑦轴上所有向量} 取𝛼 ∈ 𝑉1 , 𝛼 ≠ 0, 𝛽 ∈ 𝑉2 , 𝛽 ≠ 0, 则 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑉1 ∪ 𝑉2 , 但𝛼 + 𝛽 ∉ 𝑉1 , 𝛼 + 𝛽 ∉ 𝑉2 , 所以𝛼 + 𝛽 ∉ 𝑉1 ∪ 𝑉2

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、子空间的和 定义2设V1,V2是线性空间V的两个子空间，所谓V1 与V2的和，是指由所有能表示成C1+Q2,而1∈V1, C2∈V2的向量组成的子集合，记作V1+V2,即 V1+V2={a∈Vla=41+a2,1∈V1,a2∈V2} 定理7如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么 它们的和V1+V2也是V的子空间

二、子空间的和 定义2 设 𝑉1 , 𝑉2 是线性空间 𝑉 的两个子空间, 所谓 𝑉1 与 𝑉2 的和，是指由所有能表示成𝛼1 + 𝛼2，而𝛼1 𝑉1 ， 𝛼2  𝑉2 的向量组成的子集合，记作 𝑉1 + 𝑉2 ，即 𝑉1 + 𝑉2 = {𝛼 ∈ 𝑉|𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2 ,𝛼1 𝑉1 , 𝛼2 𝑉2 } 定理 7 如果𝑉1 , 𝑉2 是线性空间 𝑉 的两个子空间，那么 它们的和 𝑉1 + 𝑉2 也是 𝑉 的子空间

山东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 子空间的和的运算规律 1)交换律 V1+V2=V2+V1; 2)结合律 (V1+V2)+V3=V1+(V2+V3). 由结合律，我们可以定义多个子空间的和： V1+V2+.+%=∑=1V 它是由所有表示成 1+2+.+0s,∈V(i=1,2,.,S) 的向量组的子空间

子空间的和的运算规律 1) 交换律 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉2 + 𝑉1； 2) 结合律 (𝑉1 + 𝑉2 ) + 𝑉3 = 𝑉1 + (𝑉2 + 𝑉3 ) . 由结合律，我们可以定义多个子空间的和： 的向量组的子空间. 它是由所有表示成 𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑠 , 𝛼𝑖∈ 𝑉𝑖 (𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑠) 𝑉1 + 𝑉2 + ⋯ + 𝑉𝑠 = σ𝑖=1 𝑠 𝑉𝑖

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、子空间的交与和的性质 性质1设V1,V2,W都是子空间，那么 1)若WcV1与WcV2,则WcV1nV2; 2)若WoV1与WpV2,则WpV1+V2. 即V1+V2是包含V1,V2的最小的子空间. 性质2对于子空间V1,V2,以下三个论断是等价的： 1)V1cV2;2)V1nV2=V1;3)V1+V2=V2:

三、子空间的交与和的性质 性质 1 设 𝑉1 , 𝑉2 , 𝑊 都是子空间，那么 1) 若 𝑊 ⊂ 𝑉1 与 𝑊 ⊂ 𝑉2 ，则𝑊 ⊂ 𝑉1 ∩ 𝑉2 ； 2) 若𝑊 ⊃ 𝑉1 与 𝑊 ⊃ 𝑉2，则 𝑊 ⊃ 𝑉1 + 𝑉2 . 性质 2 对于子空间 𝑉1 , 𝑉2 , 以下三个论断是等价的： 1) 𝑉1  𝑉2 ；2) 𝑉1 ∩ 𝑉2 = 𝑉1 ；3) 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉2 . 即𝑉1 + 𝑉2是包含𝑉1 , 𝑉2的最小的子空间